Usando o Double-Angle de identidade para Cosine

Identidades para ângulos que são duas vezes maiores que um dos ângulos comuns (ângulos de casal) são usados ​​frequentemente em trig. Essas identidades permitem que você lidar com um ângulo maior em termos de um menor e mais gerenciável.

UMA duplo ângulo função é escrita, por exemplo, como o pecado 2theta-, cos 2alpha-, ou tan 2x, onde 2theta-, 2alpha- e 2x são as medidas de ângulo e o pressuposto é que você quer dizer sin (2theta-), cos (2alpha-), ou tan (2x). Porque tangente é igual ao quociente do seno e cosseno, a sua identidade vem de suas identidades de duplo ângulo.

As identidades de duplo ângulo encontrar a função para duas vezes o ângulo theta-. Note que a função cosseno tem três versões diferentes de sua identidade duplo ângulo.

Encontrando-se o co-seno de um ângulo duas vezes é mais fácil do que encontrar os outros valores de função, porque você tem três versões para escolher. Você faz a sua escolha, dependendo do que a informação está disponível e que parece mais fácil de calcular. Para mostrar onde a primeira das identidades duplo ângulo de cosseno vem, este exemplo usa a identidade de soma ângulo de cosseno. Porque os dois ângulos são iguais, você pode substituir beta com alfa, de modo cos (alfa + beta) = cosalpha- cosbeta-- pecado sinbeta- torna-se

Para obter a segunda versão, use o primeiro Pitágoras identidade, o pecado² + cos² = 1. Resolvendo para o pecado², você começa o pecado² = 1 - cos². Colocando o resultado de volta para a dupla identidade de ângulo de cosseno e simplificando, você começa

Para encontrar a última versão da dupla identidade de ângulo de cosseno, resolver o primeiro identidade de Pitágoras para cos²alfa, o que lhe dá cos²alfa = 1 - sin²alfa-. Em seguida, substitua esse resultado para a primeira identidade de soma ângulo de cosseno:

A maior vantagem de ter três identidades diferentes para o co-seno de um ângulo duplo é que você pode resolver para o co-seno com apenas um outro valor da função. As identidades de soma e de diferença de seno e cosseno, por outro lado, bem como a identidade de duplo ângulo de seno, todas envolvem tanto o seno e co-seno dos ângulos.

Aqui está um exemplo mostrando que a vantagem. Encontrar cos 2alpha-- o ângulo alfa- está no quarto quadrante, e sinalpha- = -0,45.

1. Escolha a identidade de duplo ângulo apropriado.

   Porque você sabe o valor do seno, usar cos 2alpha- = 1 - 2sin²alfa-.

2. Insira o valor dado na fórmula e simplificar.

   

O cosseno resultante é positivo. O co-seno é positiva no primeiro e quarto quadrantes, assim como você sabe qual desses dois quadrantes do lado do terminal desse duplo ângulo encontra-se em? Voltar para o início do problema - você sabe que o ângulo original está no quarto quadrante. Um ângulo no quarto quadrante medidas entre 270 graus e 360 ​​graus. Se você dobrar esses números (porque você está trabalhando com um ângulo de casal), você obtém 540 graus e 720 graus. Os ângulos entre esses dois valores encontram-se nos terceiro e quarto quadrantes. A co-seno é positiva no quarto quadrante, de modo que este ângulo duplo encontra-se no quarto quadrante.