Como Fator Trigonometria Expressões com graus mais elevados do que 2

Embora factoring quadráticas é uma brisa, factoring equações trigonométricas com graus mais elevados pode ficar um pouco desagradável se você não tem uma situação agradável, como apenas dois termos ou uma equação quadrática-like. Abaixo, você vê esses dois problemas: 2sin3 x = sin x e 2cos4 x - 9cos2 x + 4 = 0.

A primeira equação tem apenas dois termos, para que possa incluí-lo por encontrar um maior fator comum. resolver 2sin3 x = sin x para todos os possíveis ângulos em graus.

  1. Mover o termo do lado direito para o lado esquerdo por subtraído de cada lado.

    2sin3 x - pecado x = 0

  2. Fatorar pecado x.

    pecado x (2sin2 x - 1 = 0)

  3. Definir cada fator igual a 0.

    pecado x = 0 ou 2sin2 x - 1 = 0

  4. Resolver as duas equações para os valores de x que satisfazê-los.

    Se o pecado x = 0, então x = sin-1(0) = 0 °, 180 °,. . . ou 0 ° + 180 °n.


    Se 2sin2 x - 1 = 0, 2sin2 x = 1, o pecado2 x = 1/2, em seguida, você acaba com uma equação quadrática.

  5. Tome a raiz quadrada de ambos os lados da equação quadrática e resolver para x.

    Multiplicar ambas as partes da fracção pelo denominador para obter o radical fora do denominador.

    image0.png

    Agora, considerando-se as duas soluções:

    image1.png

Esta equação trig quarto grau tem uma enorme quantidade de respostas:

x = 180 °n

x = 45 ° + 360 °n

x = 135 ° + 360 °n

x = 225 ° + 360 °n

x = 315 ° + 360 °n

É possível combinar estes últimos quatro equações para x, os que começam com múltiplos de 45 graus, para ler x = 45 ° + 90 °n. Esta equação gera todos os mesmos ângulos como os últimos quatro declarações combinadas. Como você sabe que você pode simplificar dessa maneira? Porque os ângulos de 45, 135, 225, e 315 graus são todos os 90 graus de separação em valor. Ao começar com o 45 e adicionando 90 mais e mais, você recebe todos os ângulos listados, bem como o número infinito de seus múltiplos.

O próximo exemplo também é uma equação de quarto grau, mas este é quadrática-like, o que significa que fatores como um trinômio quadrática em dois fatores binomial. Este problema tem a possibilidade de ter um grande número de soluções - ou nenhum. resolver 2cos4 x - 9cos2 x + 4 = 0 para as soluções que estão entre 0 e 2PI-.

  1. Fatorar o trinômio como o produto de dois binómios.

    (2cos2 x - 1) (COS2 x - 4) = 0

  2. Definir cada fator igual a 0.

    2cos2 x - 1 = 0 ou COS2 x - 4 = 0

  3. Resolver para a função de cada uma das equações, obtendo os termos com cosseno neles sozinho em um lado da equação.

    image2.png
  4. Tome a raiz quadrada de cada lado de cada equação.

    image3.png
  5. Resolver para os valores de x que satisfazem as equações.

    image4.png

    Se cos x = ± 2, então você tem um problema - que a equação não computa! faz a função cosseno resultados somente em valores entre -1 e 1. Esse fator não dá quaisquer novas soluções para o problema original.

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