Como encontrar Absolute Extrema sobre domínio inteiro de uma função
A função de máximo absoluto e min absoluta ao longo de sua todo o domínio são os valores mais altos e mais baixos (alturas) da função em qualquer lugar é definidas. Quando você considera todo o domínio de uma função, uma função pode ter um máximo absoluto ou min ou ambos ou nenhum. Por exemplo, a parábola y = x2 tem um min absoluta no ponto (0,0) - a parte inferior da sua forma de copo - mas nenhum máximo absoluto, porque vai-se sempre para a esquerda e a direita. Você pode pensar que o seu máximo absoluto seria infinito, mas o infinito não é um número e, portanto, não se qualifica como um máximo (idem para o uso infinito negativo como um min absoluto).
Por um lado, a ideia do ponto mais alto de uma função e ponto muito menor parece bastante simples, não é? Mas há uma chave nas obras. A chave é a categoria de coisas que dom't qualificar como Maxes ou minutos.
Na figura, existem vazios "endpoints" como (3,4) sobre f (x). f (x) Não tem um máximo absoluto. Seu máximo não é 4, porque ele nunca fica a 4, e sua max não pode ser nada menos do que 4, como 3.999, porque fica mais elevada do que, digamos 3,9999. Da mesma forma, um buraco de infinitesimal em uma função não pode qualificar-se como máximo ou mínimo. Por exemplo, considere a função de valor absoluto,
você sabe, a função em forma de V com a curva fechada na origem. Não tem nenhum máximo absoluto porque ele vai até o infinito. Sua min absoluto é zero (em (0, 0) é claro). Mas agora, digamos que você alterar a função ligeiramente por arrancar o ponto em (0, 0) e deixando um buraco de infinitesimal lá. Agora, a função não tem mínimo absoluto.
agora, considere g (x) Na figura. Ela mostra um outro tipo de situação que não se qualifica como um min (ou máximo). g (x) Não tem min absoluta. Indo para a esquerda, g rasteja ao longo da assíntota horizontal na y = 0, sempre ficando menor e menor, mas nunca chegar tão baixo como zero. Uma vez que nunca chega a zero, zero não pode ser o min absoluto, e não pode haver qualquer outro min absoluto (como, digamos, 0,0001) porque em algum momento para a esquerda, g vai ficar abaixo de qualquer número pequeno você pode nomear.
Tendo isso em mente, aqui está uma abordagem passo-a-passo para a localização de uma função absoluta máxima e mínima (se houver):
Localizar a altura da função em cada um dos seus números críticos. (Lembre-se que os números críticos de uma função são o x-valores pertencentes ao domínio da função onde a derivada é zero ou indefinida.)
Considerar todos os números críticos, não apenas aqueles em um determinado intervalo. O maior destes valores será máximo absoluto da função a não ser que a função vai mais alto do que o ponto, caso em que a função não terá um máximo absoluto. O mais baixo destes valores será min absoluto da função a não ser que a função vai inferior ao ponto de no caso em que não terá um min absoluto. As etapas 2 e 3 vai ajudar você a descobrir se a função vai mais alto que o mais alto ponto crítico e / ou menor do que o menor ponto crítico. Se você aplicar a Etapa 1 para g (x) Na figura, você verá que ele não tem pontos críticos. Quando isso acontece, você está feito. A função não tem nem um máximo absoluto, nem um min absoluta.
Verifique se a função vai até o infinito e / ou para baixo até o infinito negativo.
Se uma função vai até o infinito positivo ou para baixo até o infinito negativo, ele fá-lo por sua extrema direita ou para a esquerda ou a uma assíntota vertical. Assim, avaliar
- o assim chamado comportamento final da função - e o limite da função como x aborda cada assíntota vertical (se houver algum) da esquerda e da direita. Se a função vai até o infinito, não tem max- absoluta se ele vai para baixo para o infinito negativo, ele não tem min absoluta.
Representar graficamente a função para verificar se há assíntotas horizontais e características estranhas como a descontinuidade salto em f (x) Na figura.
Olhe para o gráfico da função. Se você ver que a função obtém superior ao mais alto dos seus pontos críticos, não tem max- absoluta se ele vai menor do que o menor de seus pontos críticos, não tem min absoluta. A aplicação deste processo de três passos para f (x) Na figura, Passo 1 revelaria dois pontos críticos: o ponto final de (3, 1) e o máximo local em aproximadamente (4.1, 1.3). Na Etapa 2, você teria que encontrar f desce para menos infinito e, portanto, não tem min absoluta. Finalmente, no passo 3, você veria que f vai mais elevado do que o mais elevado dos pontos críticos, (4.1, 1.3), e que, por conseguinte, não tem qualquer máximo absoluto. Você está feito!