Como Analisar absoluta e convergência condicional
Muitas séries divergentes dos termos positivos convergem se alterar os sinais de seus termos, para que eles se alternam entre positivo e negativo. Por exemplo, você sabe que a série harmônica diverge:
Mas, se alterar qualquer outro sinal para negativo, você obter o alternando série harmônica, que converge:
By the way, esta série converge para ln 2, o que equivale a cerca de 0,6931.
Uma série alternada é dito ser condicionalmente convergente se é convergente, pois é, mas se tornaria divergentes, se todos os seus termos foram feitas positivo. Uma série alternada é dito ser absolutamente convergente se ele iria ser convergentes, mesmo se todos os seus termos foram feitas positivo. E qualquer série absolutamente convergente é convergente automaticamente como ela é.
Aqui está um exemplo. Determinar a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas:
Se todos esses termos foram positivos, você teria a série geométrica familiarizado,
que, pela regra série geométrica, converge para 2. Porque a série positiva converge, a série alternada também devem convergir e você dizer que a série alternada é absolutamente convergente.
O fato de que a convergência absoluta implica convergência comum é apenas o senso comum, se você pensar sobre isso. A série geométrica prévia de termos positivos converge para 2. Se você fez todos os termos negativos, seria somar -2, certo? Assim, se alguns dos termos são positivos e alguns efeitos negativos, a série devem convergir para algo entre -2 e 2.
Você notou que a série alternada acima é uma série geométrica como isso é com
(Lembre-se que a fórmula para a soma de uma série geométrica trabalha sempre r é entre -1 e 1- assim que funciona para séries alternadas, assim como para séries positivo) A fórmula dá a sua soma.:
