Encontrar a área de uma superfície de revolução

A coisa agradável sobre encontrar a área de uma superfície de revolução é que não há uma fórmula que você pode usar. Memorizá-lo e você está a meio caminho feito.

Para determinar a área de uma superfície de revolução entre uma e b, utilizar a seguinte fórmula:

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Esta fórmula é longo e complicado, mas faz mais sentido quando você passar um pensamento minutos sobre ele. O integral é feita a partir de duas peças:

  • A fórmula de comprimento de arco, o qual mede o comprimento ao longo da superfície

  • A fórmula para a circunferência de um círculo, que mede o comprimento em torno da superfície

Assim, multiplicando esses dois pedaços juntos é semelhante ao multiplicar o comprimento e largura para encontrar a zona de um rectângulo. Com efeito, a fórmula permite medir área de superfície como um número infinito de pequenos retângulos.


Quando você está medindo a superfície da volta de uma função f(x) em volta do x-eixo, substituto r = f(x) Na fórmula:

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Por exemplo, suponha que você deseja encontrar a área de revolução que é mostrado nesta figura.

Medir a superfície da volta de & lt; i>YLT; / i> = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 3LT; / sup> entre lt; i> XLT; / i> = 0 e lt; i>
Medindo a superfície de revolução de y = x3 entre x = 0 e x = 1.

Para resolver este problema, em primeiro lugar para notar que

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Portanto, definir o problema da seguinte maneira:

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Para começar, simplificar o problema um pouco:

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Você pode resolver esse problema usando o seguinte substituição de variáveis:

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agora substituir você para 1+ 9x4 e

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para x3 dx na equação:

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Observe que você alterar os limites da integração: Quando x = 0, você = 1. E quando x = 1, você = 10.

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Agora você pode realizar a integração:

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Por fim, avaliar a integral definida:

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