Calcule a função de onda de um átomo de hidrogênio utilizando o Schr & # 246-dinger Equação

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Se o seu instrutor de física quântica pede para você encontrar a função de onda de um átomo de hidrogênio, você pode começar com o radial Schr # equação 246-dinger, R_nl(r), Que lhe diz que

A equação anterior vem de resolver o Schr # equação 246-dinger radial:

A solução só é bom para uma constante multiplicativa, então você adicionar como uma constante, A_nl (Que acaba por depender do número quântico principal n eo número quântico do momento angular eu), como isso:

Você encontra um_nl R normalizando_nl(r).

Agora tente resolver para R_nl(r) Por apenas flat-out fazer a matemática. Por exemplo, tentar encontrar R₁₀(r). Nesse caso, n = 1 e eu = 0. Em seguida, porque N + eu + 1 = n, você tem n = n - eu - 1. Assim N = 0 aqui. Isso faz com que R_nl(r) parece com isso:

E a soma nesta equação é igual

E porque eu = 0, r^eu = 1, então

Portanto, você também pode escrever

Onde r₀ é o raio de Bohr. Para encontrar um₁₀ e uma₀, normalizar

para 1, o que significa integrar

ao longo de todo o espaço e definir o resultado para 1.

e integrar os harmônicos esféricos, como Y₀₀, sobre uma esfera completa,

dá-lhe 1. Portanto, você é deixado com a parte radial para normalizar:

Tapar

para dentro

da-te

Você pode resolver este tipo de integral com a seguinte relação:

Com esta relação, a equação

torna-se

Portanto,

Este é um resultado bastante simples. porque A₁₀ está ali apenas para normalizar o resultado, você pode definir um₁₀ para uma (isto não seria o caso se