Como resolver uma equação Trig que tem várias funções de trigonometria

Algumas equações trigonométricas contêm mais de uma função trig. Outros têm misturas de vários ângulos e ângulos individuais com a mesma variável. Alguns exemplos de tais equações incluem 3cos2 x = sin2 x, 2sec x = tan x + berço x, cos 2x + cos x + 1 = 0, e o pecado x cos x = 02/01.

Para obter estas equações em formas mais gerenciáveis ​​para que você pode usar factoring ou outro método para resolvê-los, você usa identidades para substituir alguns ou todos os termos. Por exemplo, para resolver 3cos2 x = sin2 x para todos os ângulos entre 0 e 2PI-, aplicar uma identidade de Pitágoras.

  1. Substituir o termo pecado2 x com o seu equivalente da identidade de Pitágoras, o pecado2 x + cos2 x = 1 ou pecado2 x = 1 - cos2 x.

    3cos2 x = 1 - cos2 x

  2. Adicionar cos2 x para cada lado e simplificar dividindo.

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  3. Tome a raiz quadrada de cada lado.

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  4. Resolver para os valores de x que satisfazem a equação.

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Neste próximo exemplo, você começa com três funções trigonométricas diferentes. Uma boa tática é substituir cada função usando qualquer uma identidade ratio ou uma identidade recíproco. Usando essas identidades cria frações e as frações exigem denominadores comuns.

By the way, com frações em equações trigonométricas é Boa, porque os produtos que resultam de se multiplicar e fazer frações equivalentes são geralmente partes de identidades que você pode então substituir-se para fazer a expressão mais simples. resolver 2sec x = tan x + berço x para todas as soluções possíveis em graus.

  1. Substitua cada termo com a respectiva identidade recíproca ou ratio.

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  2. Reescrever as fracções com o pecado denominador comum x cos x.

    Multiplicar cada termo por uma fração que é igual a 1, com qualquer sine ou cosseno, tanto no numerador e denominador.

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  3. Adicionar as duas fracções no lado direito. Em seguida, usando a identidade de Pitágoras, substituir o novo numerador com 1.

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  4. Defina a equação igual a 0, subtraindo o termo certo de cada lado.

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  5. Agora defina o numerador igual a 0.

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    Se o numerador é igual a 0, em seguida, a fracção inteira é igual a 0. O denominador não deve ser permitido igual a 0 - um tal número não existe.

  6. Resolver para os valores de x que satisfazem a equação original.

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No próximo exemplo, dois ângulos diferentes estão em jogo. Um ângulo é o dobro do tamanho do outro, para que você use uma dupla identidade de ângulo para reduzir os termos de funções de um único ângulo. O truque é escolher a versão correta do cosseno dupla identidade de ângulo.

Resolver cos 2x + cos x + 1 = 0 para x entre 0 e 2# 112-.

  1. Substituir cos 2x com 2cos2 x - 1.

    2cos2x- 1 + cos x + 1 = 0

    Esta versão da identidade de duplo ângulo de cosseno é preferível porque a outra função trigonométrica na equação já tem um co-seno na mesma.

  2. Simplificar a equação. Então fatorar cos x.

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  3. Definir cada fator igual a 0.

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  4. Resolver para os valores de x que satisfazem a equação original.

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Este último exemplo pode ser enganosamente simples. O problema é que você tem que reconhecer uma dupla identidade de ângulo aberto e fazer um interruptor rápido.

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  1. Use a dupla identidade de ângulo sine para criar uma substituição para a expressão do lado esquerdo.

    Começando com a identidade e multiplicando cada lado por 1/2, você começa

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  2. Substituir a expressão do lado esquerdo da equação original com a sua equivalente de identidade de duplo ângulo.

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  3. Multiplicar cada lado da equação por dois.

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  4. Reescrever a expressão como uma função inversa.

    2x = sin-1(1)

  5. Determinar quais ângulos dentro dois rotações satisfazer a expressão.

    2x = sin-1(1) = 90 # 176-, 450 # 176;

    Você usa duas rotações, pois o coeficiente de x é 2.

  6. Divida cada termo por 2.

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    Note-se que os ângulos resultantes têm entre 0 e 360 ​​graus.

Você pode generalizar a técnica de duplo ângulo a partir do exemplo acima, outras expressões de ângulos múltiplos.

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