Encontrar as intersecções das linhas e parábolas

Uma linha pode cortar através de uma parábola em dois pontos, ou pode apenas ser tangente à parábola e tocá-lo em um ponto. E então, infelizmente, uma linha e uma parábola pode nunca se encontram. Ao resolver sistemas de equações envolvendo linhas e parábolas, você costuma usar o método de substituição - resolvendo x

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ou y na equação da linha e substituindo para a equação da parábola.

Por vezes, as equações prestam-se a eliminação - ao adicionar as equações (ou múltiplos das equações) juntos elimina uma das variáveis ​​inteiramente, porque o seu coeficiente torna-se 0. Eliminação funciona apenas ocasionalmente, mas sempre funciona substituição.

Exemplos de perguntas

  1. Encontrar a solução comum (s) nas equações y = -5x2 + 12x + 3 e 8x + y = 18.

    Os pontos de intersecção são (1, 10), (3, -6). Aqui está outra maneira de escrever esta solução: Quando x = 1, y = 10, e quando x = 3, y = -6. Para encontrar essas soluções, reescrever a equação da linha de y = 18-8x.

    Substitua o y na equação da parábola com o seu equivalente para obter 18-8x = -5x2 + 12x + 3. Mover todos os termos para a esquerda e combinar termos semelhantes, dando-lhe 5x2 - 20x + 15 = 0. Divide cada termo por 5 e, em seguida, fator, que lhe dá a equação 5 (x2 - 4x + 3) = 5 (x - 3) (x - 1) = 0.

    Usando a propriedade multiplicação de zero (em ordem para que um produto igual a 0, um dos fatores que deve ser 0), você sabe que x = 3 ou x = 1. Substitua esses valores de volta para a equação da linha para obter o correspondente y-valores.

    Sempre substituir volta na equação com os expoentes inferiores. Você pode evitar a criação de soluções estranhas.


  2. Encontrar a solução comum (s) nas equações y = x2 - 4x e 2x + y + 1 = 0

    (1, -3). Resolva para y na equação da linha de obter y = -2x - 1. Substituto este valor na equação da parábola para obter -2x - 1 = x2 - 4x. Movendo-se os termos para a direita e simplificando, 0 = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2.

    A única solução é x = 1. Substituindo x com 1 na equação da linha, você achar que y = -3. A linha tangente à parábola no ponto de intersecção, que é por isso este problema tem apenas uma solução.

questões práticas

  1. Encontrar a solução comum (s) nas equações y = x2 + 4x + 7 e 3x - y + 9 = 0.

  2. Encontrar a solução comum (s) nas equações y 4 =x2 - 8x - 3 e 4x + y = 5.

Seguem-se respostas para as questões práticas:

  1. A resposta é (-2, 3), (1, 12).

    Resolva para y na segunda equação (chegar y = 3x + 9), e que substitui na equação da parábola: 3x + 9 = x2 + 4x + 7. Mova todos os termos para a direita e fator da equação: 0 = x2 + x - 2 = (x + 2) (x - 1).

    Assim, x = -2 Ou 1. Letting x = -2 Na equação da linha, 3 (-2) - y + 9 = 0- -6 - y + 9 0- = -y = -3 y 3. E = quando x = 1 na equação da linha, 3 (1) - y + 9 = 0- 3 - y + 9 0- = -y = -12- y = 12.

    Quando a solução para a segunda coordenada na solução de um sistema de equações, a equação simples utilizar - a um com os expoentes menores - para evitar a introdução de soluções estranhas.

  2. A resposta é (-1, 9), (2, -3).

    Resolva para y na segunda equação (chegar y = 5-4x) E substituir o equivalente de y na equação da parábola: 5-4x 4 =x2 - 8x - 3. Mover todos os termos para a direita e fator da equação: 0 = 4x2 - 4x - 8 = 4 (x2 - x - 2) = 4 (x + 1) (x - 2).

    Usando a propriedade multiplicação de zero, você achar que x = -1 Ou x = 2. Quando x = -1 Na ​​equação da linha, 4 (-1) + y = 5- -4 + y = 5- y = 9. E substituindo x = 2 na equação da linha, 4 (2) + y = 5- 8 + y = 5- y = -3.

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