Como encontrar o incenter, Circumcenter e orthocenter de um triângulo

Cada triângulo tem três "centros" - um incenter, um Circumcenter, e um ortocentro - que estão localizados na intersecção de raios, linhas e segmentos associados com o triângulo:

  • incenter: Quando três bissectriz de um triângulo interceptam (um bissetriz é um raio que corta um ângulo em metade) - o incentro é o centro de um círculo inscrito in (elaborado dentro) do triângulo.

  • circumcenter: Quando as três mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam (um mediatriz é uma linha que forma um ângulo de 90 ° com um segmento do segmento e corta ao meio) - o circumcenter é o centro de um círculo circunscrito sobre (desenhada em torno) do triângulo.

  • ortocentro: Onde três altitudes do triângulo se cruzam. A altura de um triângulo é um segmento de um vértice do triângulo para o lado oposto (ou para a extensão de lado oposto, se necessário) que é perpendicular ao contrário lateral do lado oposto é chamado o base.

Encontrar o incenter

Você encontra incenter de um triângulo na intersecção de três bissectriz do triângulo. Este local dá a incenter uma propriedade interessante: O incenter é igualmente longe de três lados do triângulo. Nenhum outro ponto tem essa qualidade. Incenters, como centróides, estão sempre dentro de seus triângulos.

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A figura acima mostra dois triângulos com seus incenters e círculos inscritos, ou em círculos (Círculos desenhados dentro dos triângulos de modo que os círculos mal tocam os lados de cada triângulo). Os incenters são os centros dos incircles. (Não fale sobre isso "em" coisas muito se você quer estar em com a in-multidão.)

Encontrar o circumcenter

Você encontra um triângulo de circumcenter na intersecção das mediatrizes de lados do triângulo. Este local dá o circumcenter uma propriedade interessante: o circumcenter é igualmente longe de três vértices do triângulo.

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A figura acima mostra dois triângulos com seus circumcenters e círculos circunscritos, ou circumcircles (Círculos desenhados em torno dos triângulos de modo que os círculos passar por vértices de cada triângulo). Os circumcenters são os centros das circunferências.

Você pode ver na figura acima que, ao contrário centroids e incenters, um circumcenter é, por vezes, fora do triângulo. O circumcenter é

  • Dentro de todos os triângulos agudas

  • Fora todos os triângulos obtusos

  • Em todos os triângulos (no ponto médio da hipotenusa)

Encontrar o orthocenter

Confira a seguir a figura para ver um par de orthocenters. Você encontra orthocenter de um triângulo na intersecção das suas altitudes. Ao contrário do baricentro, incenter e circumcenter - todos os quais estão localizados em um ponto interessante do triângulo (o centro do triângulo de gravidade, o ponto equidistante dos lados do triângulo, e o ponto equidistante dos vértices do triângulo, respectivamente), um triângulo de O orthocenter não mentem em um ponto com tais características agradáveis. Bem, três em cada quatro não é ruim.

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Mas ter uma carga de presente: Olhe novamente para os triângulos na figura. Tire os quatro pontos marcados de qualquer triângulo (os três vértices mais o orthocenter). Se você fazer um triângulo fora de qualquer três desses quatro pontos, o quarto ponto é o orthocenter desse triângulo. Muito doce, não é?

Orthocenters seguem a mesma regra como circumcenters (note que ambos os orthocenters e circumcenters envolvem linhas perpendiculares - altitudes e mediatrizes): O orthocenter é

  • Dentro de todos os triângulos agudas

  • Fora todos os triângulos obtusos

  • Em todos os triângulos retângulos (no vértice ângulo reto)

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