Como encontrar binomial probabilidades Usando uma fórmula estatística

Depois de identificar que uma variável aleatória x tem uma distribuição binomial, você provavelmente vai querer encontrar probabilidades para X. A boa notícia é que você não tem que encontrá-los a partir do risco você começa a usar fórmulas estatísticas estabelecidas para encontrar probabilidades binomial, usando os valores de n e p único para cada problema.

Probabilidades para uma variável aleatória binomial x pode ser encontrada utilizando a seguinte fórmula para p(x):

Onde

• n é o número fixo de tentativas.

• x é o número especificado de sucessos.

• n - x é o número de falhas.

• p é a probabilidade de sucesso em qualquer julgamento.

• 1 - p é a probabilidade de falha em qualquer julgamento. (Nota: Alguns livros usam a letra q para indicar a probabilidade de falha em vez de 1 - p.)

Essas probabilidades segurar para qualquer valor de x entre 0 (menor número de possíveis sucessos em n ensaios) e n (Maior número de possíveis sucessos).

O número de maneiras para reorganizar x sucessos entre n ensaios é chamado "n escolher x,"E a notação é

É importante notar que esta expressão matemática não é um fraccionamento É matemática taquigráfico para representar o número de maneiras de fazer esses tipos de rearranjos.

Em geral, para calcular "n escolher x,"Você usa a seguinte fórmula:

a notação n! apoia N-fatorial, o número de maneiras para reorganizar n itens. Calcular n!, você multiplicar n(n - 1) (n - 2). . . (2) (1). Por exemplo, 5! é 5 (4) (3) (2) (1) = 120- 2! 2 é (1) = 2 e 1! é 1. Por convenção, 0! é igual a 1.

Suponha que você tem que atravessar três semáforos no seu caminho para o trabalho. Deixei x Ser o número de luzes vermelhas que você bateu para fora dos três. De quantas maneiras você pode bater duas luzes vermelhas em seu caminho para o trabalho? (Para este exemplo, você pode assumir que uma luz amarela equivale a uma luz vermelha.) Bem, você poderia bater um verde em primeiro lugar, em seguida, os outros dois vermelhos ou você poderia bater o verde no meio e ter os vermelhos para o primeiro eo terceiro luzes, ou você poderia bater vermelho em primeiro lugar, em seguida, outro vermelho, depois verde. Deixando G = verde e R = vermelho, você pode escrever estas três possibilidades como: GRR, RGR, RRG. Então você pode bater duas luzes vermelhas em seu caminho para o trabalho de três maneiras, certo?

Verifique a matemática. Neste exemplo, um "teste" é um luz- tráfego e um "sucesso" é uma luz vermelha. (Sim, isso parece estranho, mas um sucesso é o que você está interessado em contagem, bom ou mau.) Então você tem n = 3 luzes de tráfego total, e você está interessado na situação em que você começa x = 2 os vermelhos. Usando a notação de fantasia,

significa "3 escolher 2" e representa o número de maneiras de reorganizar 2 sucessos em 3 ensaios.

Para calcular "3 escolher 2", você faça o seguinte:

Isto confirma as três possibilidades listadas para obter duas luzes vermelhas.

Agora, suponha que as luzes funcionam de forma independente um do outro e cada um tem uma chance de 30% de ser vermelho. Suponha que você queira encontrar a distribuição de probabilidade x. (Isto é, uma lista de todos os valores possíveis de x - 0,1,2,3 - e suas probabilidades).

Antes de mergulhar nos cálculos, você primeiro verificar para ver se você tem uma situação binomial aqui. Você tem n = 3 ensaios (semáforos) - verificar. Cada ensaio é o sucesso (luz vermelha) ou falha (luz- amarelo ou verde em outras palavras, "não-vermelho" light) - verificar. As luzes funcionam de forma independente, então você tem os ensaios independentes tomadas de cuidados, e porque cada luz é vermelha 30% do tempo, você sabe p = 0,30 para cada luz. assim x = Número de semáforos vermelhos tem uma distribuição binomial. Para preencher as gritties nitty para as fórmulas, 1 - p = Probabilidade de uma luz não-vermelho = 1-0,30 = 0.70- eo número de luzes vermelhas não é 3 - x.

Usando a fórmula de p(x), Você obter as probabilidades de x = 0, 1, 2 e 3 luzes vermelhas:

A distribuição de probabilidade final para X é mostrado na tabela a seguir. Observe essas probabilidades toda soma a 1, porque cada valor possível de X está listado e contabilizado.

Probabilidade de distribuição para X = número de glóbulos vermelhos Sinais (n = 3, p = 0,30):

x	P (x)
0	0,343
1	0,441
2	0,189
3	0,027