Como converter uma distribuição de amostragem a uma variável aleatória normal Usando o Teorema do Limite Central
Você pode usar o Teorema do Limite Central para converter uma distribuição de amostragem para uma variável aleatória normal. Com base no limite Teorema central, se extrair amostras a partir de uma população que é maior do que ou igual a 30, então a média da amostra é uma variável aleatória com distribuição normal. Para determinar probabilidades para a média da amostra
as tabelas normais padrão requer a conversão de
para uma variável aleatória normal.
A distribuição normal padrão é o caso especial onde a média
é igual a 0, e o desvio padrão
é igual a 1.
Para qualquer variável aleatória normalmente distribuída x com um significativo
e um desvio padrão
encontrar a variável aleatória normal correspondente (Z) Com a seguinte equação:
Para a distribuição de amostragem de
a equação correspondente é
Como exemplo, dizer que existem 10.000 negociar ações cada dia em uma bolsa de valores regional. É conhecida a partir da experiência histórica que os retornos para essas ações têm um valor médio de 10 por cento ao ano, e um desvio padrão de 20 por cento ao ano.
Um investidor opta por comprar uma seleção aleatória de 100 destas unidades populacionais por sua carteira. Qual é a probabilidade de que a taxa média de retorno entre essas 100 ações é maior do que 8 por cento?
A carteira do investidor pode ser pensado como uma amostra de ações escolhidas a partir da população de negociar ações na bolsa de regional. O primeiro passo para encontrar essa probabilidade é calcular os momentos da distribuição de amostragem.
Calcule a média:
A média da distribuição de amostragem é igual a média da população.
Determinar o erro padrão: Este cálculo é um pouco mais complicado, porque o erro padrão depende do tamanho da amostra em relação ao tamanho da população. Neste caso, o tamanho da amostra (n) É de 100, enquanto que o tamanho da população (N) É de 10.000. Então, primeiro você tem que calcular o tamanho da amostra em relação ao tamanho da população, assim:
Por causa de 1 por cento é inferior a 5 por cento, você não usar o factor de correcção da população finita para calcular o erro padrão. Note-se que neste caso, o valor do factor de correcção da população finita é:
Como esse valor é tão próximo de 1, utilizando o factor de correcção da população finita, neste caso, teria pouco ou nenhum impacto sobre as probabilidades resultantes.
E porque o factor de correcção da população finita não é necessário neste caso, o erro padrão é calculado como se segue:
Para determinar a probabilidade de que a média da amostra for superior a 8 por cento, agora você deve converter a média da amostra em uma variável aleatória normal com a seguinte equação:
Para calcular a probabilidade de que a média da amostra for superior a 8 por cento, de aplicar a fórmula anterior como se segue:
Porque
estes valores são substituídos na expressão anterior, como segue:
Você pode calcular essa probabilidade usando as propriedades da distribuição normal padrão juntamente com uma mesa normal padrão como esta.
| Z | 0.00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 |
|---|---|---|---|---|
| -1.3 | 0,0968 | 0,0951 | 0,0934 | 0,0918 |
| -1.2 | 0,1151 | 0,1131 | 0,1112 | 0,1093 |
| -1.1 | 0,1357 | 0,1335 | 0,1314 | 0,1292 |
| -1.0 | 0,1587 | 0,1562 | 0,1539 | 0,1515 |
A tabela mostra a probabilidade de que uma variável aleatória normal (designado Z) é menos que ou igual a um valor específico. Por exemplo, você pode escrever a probabilidade de que
(Um desvio padrão abaixo do valor médio) como
Você encontra a probabilidade da mesa com estes passos:
Localize o primeiro dígito antes e após o ponto decimal (-1,0) no primeiro (Z) Coluna.
Encontrar o segundo dígito depois do ponto decimal (0,00) na segunda coluna (0,00).
Veja onde a linha e coluna se cruzam para encontrar a probabilidade:
Porque você está realmente procurando a probabilidade de que Z é maior do que ou igual a -1, mais uma etapa é necessária.
Devido à simetria de uma distribuição normal padrão, a probabilidade de que Z é maior do que ou igual a um valor negativo igual a um menos a probabilidade de que Z é inferior ou igual ao mesmo valor negativo.
Por exemplo,
Isto é porque
estamos complementar eventos. Isso significa que Z ou deve ser maior do que ou igual a -2 ou menos do que ou igual a -2. Portanto,
Isto é verdade porque a ocorrência de um desses eventos é certo, e a probabilidade de um determinado evento é 1.
Após algebricamente reescrever esta equação, você acaba com o seguinte resultado:
Para o exemplo de portfólio,
O resultado mostra que há uma chance de 84,13 por cento que a carteira do investidor terá uma média retornar superior a 8 por cento.