Trabalhando com razões trigonométricas em coordenadas planas

Para colocar ângulos no plano de coordenadas, essencialmente, tudo que você faz é olhar para as razões trigonométricas em termos de x e y valores, em vez de oposto, adjacente, e hipotenusa. Redefinindo esses índices para ajustar o plano de coordenadas (às vezes chamado de point-in-the-plane definição) torna a visualização destes mais fácil. Alguns dos ângulos, por exemplo, são maiores do que 180 graus, mas você pode fazer um triângulo retângulo usando um ponto eo x-eixo. Você, então, usar os novos índices para encontrar os lados falta de triângulos e / ou os valores da função trig de ângulos.

Quando um ponto (x, y) Existe em um plano de coordenadas, você pode calcular todas as funções trigonométricas de o ângulo entre o eixo x positivo e o segmento de linha desde a origem até o ponto (X, y) seguindo os passos abaixo (utilize a figura a seguir):

Encontrar a hipotenusa de um triângulo rectângulo, quando dado um ponto sobre o plano.
Encontrar a hipotenusa de um triângulo rectângulo, quando dado um ponto sobre o plano.
  1. Localize o ponto no plano de coordenadas e conectá-lo à origem, utilizando uma linha reta.

    Digamos, por exemplo, que você está convidado toevaluate todas as seis funções trigonométricas de o ângulo entre o eixo x positivo e o segmento de linha que une a origem até o ponto no plano (-4, -6). O segmento de linha em movimento a partir deste ponto para a origem é a sua hipotenusa e agora é chamado o raio r (Como você vê na figura).

  2. Desenhar uma linha perpendicular que liga o ponto dado ao x-eixo, criando um triângulo retângulo.

    As pernas do triângulo estão -4 e -6. Não deixe que os sinais negativos assustar você- os comprimentos dos lados ainda são 4 e 6. Os sinais negativos apenas revelam a localização desse ponto no plano de coordenadas.

  3. Encontrar o comprimento da hipotenusa r usando a fórmula de distância ou o teorema de Pitágoras.

    A distância que você quer encontrar é o comprimento r a partir do Passo 1. Usando a fórmula distância entre (x, y) Ea origem (0, 0), você obtém

    image1.png

    Lembre-se que esta equação implica a principal ou única raiz positiva, então a hipotenusa para esses triângulos point-in-the-avião é sempre positivo.

    Para este exemplo, você recebe

    image2.png

    o que simplifica a

    image3.png

    Confira o que o triângulo se parece com a figura.

  4. Avaliar os valores da função trig, usando suas definições alternativas.

    Com os rótulos de figura, você tem as seguintes fórmulas:

    image4.png

    Substitua os números do exemplo na figura para identificar os valores trigonométricas:

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  5. Simplifique a primeira:

    image6.png
  6. Em seguida, racionalizar o denominador:

    image7.png
  7. Simplifique a primeira:

    image8.png
  8. Em seguida, racionalizar:

    image9.png
  9. Esta resposta simplifica para 3/2.

    image10.png
  10. Observe que as regras de funções trigonométricas e seus recíprocos ainda se aplicam. Por exemplo, se você sabe

    image11.png

    você sabe automaticamente

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    porque eles são recíprocos.

Quando o ponto que você está dado é um ponto sobre um dos eixos, você ainda pode encontrar todos os valores da função trig do ângulo formado com o positivo x-eixo. Por exemplo, se o ponto é no x-eixo, a perna adjacente ao ângulo teta e o raio tem o mesmo valor absoluto (porque o co-seno pode ser negativo, mas o raio não pode). Portanto, se o ponto é no positivo x-eixo, o cosseno de teta 1 e é o seno de teta é 0-, se o ponto é no negativo x-eixo, o cosseno de teta é -1 e o seno de teta ainda será 0. Do mesmo modo, se o ponto é no y-eixo, a perna oposta do ângulo teta e o raio são do mesmo valor absoluto. Portanto, se o ponto é no positivo y-eixo, o seno de teta será de 1, e o co-seno será 0-, se o ponto é no negativo y-eixo, o seno de teta será -1 e o co-seno ainda será 0.

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