O quociente de diferença: a ponte entre Álgebra (Slope) e Cálculo (derivado)

Um dos pilares do cálculo é o quociente diferença. O quociente de diferença - juntamente com limites - permite-lhe tirar a fórmula inclinação velho regular que você usou para calcular a inclinação de linhas na aula de álgebra e usá-lo para a tarefa de cálculo de cálculo do declive (ou derivado) de uma curva. Veja como ele funciona.

No exemplo a seguir, você quer encontrar a inclinação em um ponto da parábola.

Para calcular a inclinação, você precisa de dois pontos para ligar a esta fórmula. Para uma linha, isso é fácil. É só escolher quaisquer dois pontos na linha e ligá-los.

Pode ver a linha traçada tangente à curva (2, 4), e por a inclinação da linha tangente é igual ao da inclinação da parábola em (2, 4), tudo o que preciso é o declive da tangente linha. Mas você não sabe a equação da linha tangente, então você não pode obter o segundo ponto -, além de (2, 4) - o que você precisa para a fórmula de inclinação.

Veja como os inventores do cálculo ficou em torno esse obstáculo.

A figura acima é o gráfico de y = x² com uma linha tangente e secante. Ela mostra a linha tangente e novamente uma linha secante intersecta a parábola em (2, 4) e em (10, 100).

UMA secante é uma linha que intersecta uma curva em dois pontos. Isto é um pouco simplista, mas ele vai fazer.

O declive desta linha secante é dada pela fórmula inclinação:

Você pode ver que esta linha secante é um pouco mais acentuada do que a linha tangente, e, assim, a inclinação da secante, 12, é maior do que a inclinação que você está procurando.

Agora adicione mais um ponto em (6, 36) e desenhe um outro secante usando esse ponto e (2, 4) novamente. Veja a figura acima.

Calcular o declive desta segunda secante:

É possível ver que a inclinação desta linha secante é uma melhor aproximação da inclinação da linha tangente do que a inclinação da secante foi primeiro.

Agora, imagine o que aconteceria se você pegou o ponto em (6, 36) e deslizou para baixo da parábola em direção (2, 4), arrastando a linha secante junto com ele. você pode ver que como o ponto fica cada vez mais perto (2, 4), a linha secante se aproxima mais e mais perto da linha tangente, e que a inclinação desta secante, assim, fica mais perto e mais perto da inclinação da tangente?

Assim, você pode obter o declive da tangente se você tomar o limite da inclinação da secante este movimento.

Então aqui está o limite que você precisa:

Veja o que acontece a este limite quando você conecta mais três pontos sobre a parábola que são cada vez mais perto (2, 4):

Quando o ponto de slides para (2,01, 4,0401), a inclinação é 4.01

Quando o ponto de slides para (2.001, 4,004001), a inclinação é 4.001

olhares certeza que como a inclinação é dirigido em direção a 4.

Tal como acontece com todos os problemas de limite, a variável neste problema, o corre, abordagens mas nunca realmente chega a zero. Se ele tem a zero - o que aconteceria se você deslizar o ponto que você pegou ao longo da parábola até que fosse realmente em cima de (2, 4) - você tem uma inclinação de 0/0, que é indefinido. Mas, é claro, isso é precisamente o declive você quer - a inclinação da linha quando o ponto a terra em cima de (2, 4). Aqui reside a beleza do processo de limite.

E a inclinação da linha tangente é - você adivinhou - a derivada.

o derivado de uma função, f(x), Em algum número x = c, como escrito f '(c), É a inclinação da linha tangente à f tirada em c.

Ok, aqui está a forma mais comum de escrever o quociente de diferença (você pode executar em outras formas equivalentes).

Dê uma olhada na figura a seguir, que mostra como um limite produz a inclinação da linha tangente em (2, 4).

Fazendo as contas dá-lhe, finalmente, a inclinação da linha tangente em (2, 4):

Assim, a inclinação é de 4. (A propósito, que é uma coincidência sem sentido que a inclinação em (2, 4) passa a ser o mesmo que o y-coordenada do ponto.)