Como usar o limite de teste de comparação para determinar se um converge Series

A idéia por trás do teste de comparação limite é que se você tomar uma série convergente conhecido e multiplicar cada um dos seus termos por algum número, em seguida, que a nova série também converge. E não importa se o multiplicador é, digamos, 100 ou 10.000, ou 1 / 10.000, porque qualquer número, grande ou pequeno, vezes a soma finita da série original ainda é um número finito. A mesma coisa vale para uma série divergente multiplicado por qualquer número. Essa nova série também diverge porque qualquer número, grande ou pequeno, vezes o infinito ainda é infinito. Este é mais simplificado - é apenas no limite que uma série é uma espécie de um múltiplo de outro -, mas transmite o princípio básico.

Você pode descobrir se existe uma conexão entre duas séries, olhando para a relação entre a nth termos das duas séries quanto n se aproxima do infinito. Aqui está a prova.

Comparação limite THusa: Para duas séries,

Onde eu é finito e positivo, quer ambas as séries convergem ou ambos divergem.

Este é um bom teste para usar quando você não pode usar o teste da comparação para a sua série, porque ele vai para o lado errado - em outras palavras, a sua série é Maior do que um conhecido convergente série ou menor do que um conhecido divergente série.

Aqui está um exemplo: Será que

convergir ou divergir? Esta assemelha-se à série convergente P-série

de modo que é o seu ponto de referência. Mas você não pode usar o teste da comparação, porque os termos de sua série são maiores do que

Em vez disso, você usa o teste de comparação limite.

Aqui o limite da razão entre o nth termos das duas séries. Não importa qual série você colocar no numerador e que no denominador, mas se você colocar o conhecido, a série de referência no denominador, o que torna um pouco mais fácil de fazer estes problemas e para compreender os resultados.

Porque o limite é finita e positiva, e porque a série de referência converge, a sua série também devem convergir.

Assim,

converge.

Vamos tentar outro exemplo. Determinar a convergência ou divergência de

O teste de comparação de limite é uma boa para a série, como este, em que o termo geral é um racional função - em outras palavras, onde o termo geral é um quociente de dois polinômios.

1. Determine a série de referência.

   Tire o maior poder de n no numerador e denominador - ignorando quaisquer coeficientes e todos os outros termos - em seguida, simplificar. Como isso:

   

   A série de referência é assim

   

   a divergente série harmônica.

2. Aqui o limite da razão entre o nth termos das duas séries.

   

3. Porque o limite a partir do Passo 2 é finita e positiva, e porque a série de referência diverge, a sua série também deve divergir.

   Assim,

   

   diverge.

Contrariamente à definição formal do Teste de Comparação de limite (no início deste artigo), o limite, EU, não tem de ser finito e positivo para o teste de trabalhar. Em primeiro lugar, se a série de referência é convergente, e colocá-lo no denominador do limite eo limite é zero, então a sua série também devem convergir. Se o limite é o infinito, não se pode concluir nada. E segundo, se a série de referência é divergente, e colocá-lo no denominador, eo limite é infinito, então a sua série deve também divergem. Se o limite é zero, você não aprende nada.