Como usar Sigma Notação para encontrar a área sob uma curva

Você pode usar a notação sigma para escrever a soma de Riemann para uma curva. Isso é útil quando você quiser obter a fórmula para a área aproximada sob a curva. Por exemplo, digamos que você quer encontrar a área aproximada de n retângulos corretas entre x = 0 e x = 3 sob a função f (x) = x2 + 1.

Six & lt; i>rightlt; / i> retângulos aproximar a área sob lt; i> f lt; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; i> lt; sup> 2LT; / sup
Seis certo rectângulos aproximar a área sob f (x) = x2+ 1 entre 0 e 3.

By the way, você não precisa de notação sigma para a matemática que se segue. É apenas uma "conveniência" - oh, com certeza. Cruze os dedos e esperar o seu professor não decide cobrir isso. Fica bastante deformado.

A regra do ponto médio: Pode aproximar-se da área sob uma curva exacta entre uma e b,

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com um ponto médio soma dos rectângulos dada pela seguinte fórmula. Em geral, quanto mais rectângulos, a melhor estimativa.

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Onde n é o número de rectângulos,

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é a largura de cada rectângulo, x0 através xn são as n + 1 pontos uniformemente espaçados entre uma para b, e os valores da função são as alturas dos retângulos.

Aplicando a regra do ponto médio para este exemplo, você obtém:

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Aqui é a mesma fórmula escrita com notação sigma:

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(Note que você poderia escrever isso em vez de

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o que mais bem espelham a fórmula acima, onde o

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é do lado de fora. De qualquer maneira é bom - eles são equivalentes -, mas você pode optar por manter a

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no interior de modo que o

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soma é realmente uma soma de retângulos. Em outras palavras, com a

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no interior, a expressão após a

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símbolo,

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que o

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símbolo diz-lhe para somar, é a área de cada retângulo, ou seja, altura vezes base.)

Agora resolver isso para os seis retângulos direita na figura.

Você está imaginando a área sob x2+ 1 entre x = 0 e x = 3 com seis retângulos, assim que a largura de cada um,

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Em seguida, porque a largura de cada rectângulo é

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as bordas direitas dos seis retângulos cair sobre os primeiros seis múltiplos de

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Estes números são o x-Coordenadas dos seis pontos x1 através x6- eles podem ser gerados pela expressão

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Onde Eu é igual a 1 a 6. Você pode verificar que isso funciona ligando 1 em de Eu dentro

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depois 2, depois 3, até 6. Então, agora você pode substituir o xEu na fórmula com

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dando-lhe

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A função neste exemplo,

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e agora você pode escrever

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Se você conectar um em Eu, depois 2, depois 3, e assim por diante até 6 e fazer a matemática, você tem a soma das áreas dos retângulos na figura. Esta notação sigma é apenas uma maneira elegante de escrever a soma dos seis retângulos.

Vocês estão se divertindo? Segure-se, fica pior - desculpe. Agora você está indo para escrever a soma geral para um número desconhecido, n, retângulos de direito. A extensão total da área em questão é de 3, certo? Você dividir este período pelo número de retângulos para obter a largura de cada retângulo. Com 6 rectângulos, a largura de cada um é

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com n rectângulos, a largura de cada um é

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E as bordas direita do n rectângulos são gerados pela

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para Eu é igual a 1 através n. Isso dá-lhe

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Ou, porque f (x) = x2 + 1,

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Para esta última etapa, você puxa o

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através dos símbolos soma - você está autorizado a retirar qualquer coisa, exceto para uma função de Eu, o assim chamado índice do somatório. Além disso, a segunda soma no último passo apenas tem um 1 após ele e nenhum Eu. Portanto, não há nenhum lugar para ligar os valores de Eu. Esta situação pode parecer um pouco estranho, mas tudo que você faz é somar n 1s, o que equivale n (Isto é feito ao lado).

Você já chegou a uma etapa crítica. Com um passe de mágica, você vai transformar essa soma de Riemann em uma fórmula em termos de n.

Agora, uma vez que quase não se sabe, a soma do primeiro n números quadrados,

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(By the way, este 6 tem nada a ver com o fato de que você está usando 6 retângulos). Então, você pode substituir essa expressão para o

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na última linha da solução notação sigma, e ao mesmo tempo substituto n para

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O fim. Finalmente! Esta é a fórmula para a área de n retângulos corretas entre x = 0 e x = 3 sob a função f (x) = x2 + 1.

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