Como usar o Gaussian eliminação para resolver sistemas de equações

eliminação de Gauss é provavelmente o melhor método para resolver sistemas de equações, se você não tem uma calculadora gráfica ou computador programa para ajudá-lo.

As metas de eliminação de Gauss são para tornar o elemento de canto superior esquerdo a 1, use as operações elementares de linha para obter 0s em todas as posições por baixo que o primeiro 1, obter 1s para os principais coeficientes em cada linha diagonal a partir do canto superior esquerdo para canto inferior direito canto, e obter 0s sob todos os coeficientes principais. Basicamente, a eliminar todas as variáveis ​​na última fila, com excepção de um, todos, com excepção de duas variáveis ​​na equação acima, que um, e assim por diante e assim por diante com a equação de cima, que tem todas as variáveis. Então você pode usar para trás substituição para resolver para uma variável de cada vez, ligando os valores que você conhece nas equações de baixo para cima.

-Lo a realizar esta eliminação, eliminando a x (Ou qualquer variável ocorrer primeiro) em todas as equações excepto para o primeiro. Em seguida, eliminar a segunda variável em todas as equações excepto para os dois primeiros. Este processo continua, eliminando mais uma variável por linha, até que apenas uma variável é deixado na última linha. Em seguida, resolver para essa variável.

É possível executar três operações de matrizes de modo a eliminar variáveis ​​em um sistema de equações lineares:

  • É possível multiplicar qualquer linha por uma constante (diferente de zero).

    image0.png

    multiplica linha três por -2 a dar-lhe uma nova linha três.

  • Você pode trocar quaisquer duas linhas.

    image1.png

    swaps linhas um e dois.

  • Você pode adicionar duas linhas juntos.

    image2.png

    adiciona linhas um e dois e grava-lo na linha dois.

Você pode até mesmo executar mais de uma operação. Você pode multiplicar uma linha por uma constante e, em seguida, adicioná-lo para outra linha para mudar essa linha. Por exemplo, você pode multiplicar linha um a 3 e, em seguida, acrescentar que para a linha dois para criar uma nova linha dois:

image3.png

Considere o seguinte matriz aumentada:

image4.png

Agora, dê uma olhada nas metas de eliminação de Gauss, a fim de completar os seguintes passos para resolver esta matriz:

  1. Complete a primeira meta: para obter 1 no canto superior esquerdo.

    Você já tem!

  2. Completar o segundo objetivo: chegar 0s debaixo do 1 na primeira coluna.

    Você precisa usar o combo de duas operações de matriz juntos aqui. Aqui está o que você deve perguntar: "O que eu preciso para adicionar a remar dois para fazer um 2 se tornar um 0" A resposta é -2.

    Este passo pode ser conseguido através da multiplicação da primeira fileira por adição de -2 e a linha resultante para a segunda fileira. Em outras palavras, você executar a operação

    image5.png

    que produz esta nova linha:

  1. (-2 -4 -6: 14) + (2 -3 -5: 9) = (0 -7 -11: 23)

Agora você tem essa matriz:

image6.png
  • Na terceira linha, obter um 0 sob a 1.

    Para fazer esta etapa, você precisa a operação

    image7.png

    Com este cálculo, você deve agora ter a seguinte matriz:

    image8.png
  • Obter um 1 na segunda linha, segunda coluna.

    Para fazer esta etapa, você precisa multiplicar por um Constant, em outras palavras, se multiplicam linha dois pela recíproca apropriado:

    image9.png

    Esse cálculo produz uma nova segunda linha:

    image10.png
  • Obter um 0 sob a 1 que você criou na linha dois.

    Voltar para o bom funcionamento de combinação de idade para a terceira fila:

    image11.png

    Aqui está mais uma versão da matriz:

    image12.png
  • Obter outro 1, desta vez na terceira linha, terceira coluna.

    Multiplicar a terceira fila pelo inverso do coeficiente de obter uma mistura 1:

    image13.png

    Você completou a diagonal principal depois de fazer as contas:

    image14.png
  • Agora você tem uma matriz em forma escalonada, o que lhe dá as soluções quando você usa volta de substituição (a última linha implica que 0x + 0y + 1z = 4, ou z = -4). No entanto, se você quiser saber como obter esta matriz em forma escalonada reduzida para encontrar as soluções, siga estes passos:

    1. Obter um 0 na linha dois, coluna três.

      Multiplicando linha três pela constante -11 / 7 e, em seguida, adicionando linhas dois e três

      image15.png

      dá-lhe a seguinte matriz:

      image16.png
    2. Obter um 0 na primeira fila, coluna três.

      A operação

      image17.png

      dá-lhe a seguinte matriz:

      image18.png
    3. Obter um 0 na primeira fila, coluna dois.

      Finalmente, a operação

      image19.png

      dá-lhe essa matriz:

      image20.png

    Esta matriz, em forma escalonada reduzida, é, na verdade, a solução para o sistema: x = -1, y = 3, e z = -4.

    menu