Como resolver Sistemas Não-Lineares

Em um sistema não-linear,

pelo menos uma equação tem um gráfico que não é uma linha recta - isto é, pelo menos, uma das equações tem que ser não-linear. Seu instrutor de pré-cálculo irá dizer-lhe que você sempre pode escrever uma equação linear na forma Ax + By = C (em que A, B, e C são números reais) - um sistema não linear é representado por qualquer outra forma. Exemplos de equações não lineares incluem, mas não estão limitados a, qualquer secção cónica, polinómio de grau, pelo menos, 2, função racional, exponencial, ou logaritmo.

Como resolver um sistema não linear, quando uma equação no sistema não é linear

Se uma equação em um sistema não é linear, você pode usar substituição. Nesta situação, você pode resolver para uma variável na equação linear e substituir esta expressão para a equação não-linear, porque a solução para uma variável em uma equação linear é um pedaço de bolo! Ea qualquer momento você pode resolver para uma variável facilmente, você pode substituir essa expressão na outra equação para resolver o outro.

Por exemplo, siga estes passos para resolver este sistema:

1. Resolver a equação linear para uma variável.

   Neste exemplo, a equação superior é linear. Se você resolver para x, você começa x = 3 + 4y.

2. Substituir o valor da variável na equação não linear.

   Quando você conecta 3 + 4y na segunda equação para x, você começa (3 + 4y)y = 6.

3. Resolver a equação não-linear para a variável.

   Quando você distribuir o Y, você recebe 4y² + 3y = 6. Porque esta equação é quadrática, você deve obter 0, de um lado, então subtrair o 6 de ambos os lados para obter 4y² + 3y - 6 = 0. Você tem que usar a fórmula quadrática para resolver esta equação para Y:

   
4. Substitua a solução (s) em qualquer equação para resolver a outra variável.

   Porque você encontrou duas soluções para Y, você tem que substituir os dois para obter dois diferentes pares de coordenadas. Eis o que acontece quando você faz:

   

   Portanto, você tem as soluções para o sistema:

   

Estas soluções representam a intersecção da linha x - 4y = 3 e a função racional xy = 6.

Como resolver um sistema não linear, quando ambas as equações do sistema são não-lineares

Se ambas as equações em um sistema são não-lineares, bem, você apenas tem que ser mais criativo para encontrar as soluções. A menos que uma variável é levantada para o mesmo poder em ambas as equações, a eliminação está fora de questão. Resolvendo para uma das variáveis ​​em uma equação não é necessariamente fácil, mas geralmente pode ser feito. Depois de resolver uma variável, ligue esta expressão para a outra equação e resolver para a outra variável, tal como fez antes. Ao contrário dos sistemas lineares, muitas operações podem estar envolvidos na simplificação ou solução dessas equações. Basta lembrar de manter a sua ordem de operações em mente a cada passo do caminho.

Quando ambas as equações em um sistema são cónicas, você nunca vai encontrar mais de quatro soluções (a menos que as duas equações descrever o mesmo cónica, caso em que o sistema tem um número infinito de soluções - e, portanto, é um sistema dependente). Quatro é o limite, porque cónicas são todas as curvas muito liso sem cantos afiados ou curvas malucas, então duas seções cônicas diferentes não podem se cruzam mais de quatro vezes.

Por exemplo, suponha um problema pede-lhe para resolver o seguinte sistema:

não esse problema basta fazer a sua pele arrepiar? Não quebre a loção de calamina ainda, apesar de tudo. Siga estes passos para encontrar as soluções:

1. Resolva para x² ou y² numa das equações indicadas.

   A segunda equação é atraente porque tudo que você tem a fazer é adicionar 9 a ambos os lados para obter y + 9 = x².

2. Substituir o valor a partir do Passo 1 para a outra equação.

   Você tem agora y + 9 + y² = 9 - uma equação quadrática.

3. Resolver a equação quadrática.

   Subtrair 9 de ambos os lados para obter y + y² = 0.

   Lembre-se que você não está permitido, nunca, a dividir por uma variável.

   Você deve fatorar o maior fator comum (GCF) em vez de obter y(1 + y) = 0. Use a propriedade do produto de zero para resolver y = 0 e y = -1.

4. Substituir o valor (es) do Passo 3 em qualquer uma equação para calcular a outra variável.

   Este exemplo utiliza a equação resolvida no Passo 1. Quando y é 0, 9 = x², assim

   

   Quando y é -1, 8 = x², assim

   

   Certifique-se de manter o controle de qual solução vai com qual variável, porque você tem de expressar estas soluções como pontos em um par de coordenadas. Suas respostas são

   

   Este conjunto de soluções representa as interseções do círculo e da parábola dada pelas equações no sistema.