Como fazer aproximações lineares

Porque funções comuns são localmente linear (O que significa reto) - e quanto mais você aumenta o zoom sobre eles, o mais reto que olham-a linha tangente para uma função é uma boa aproximação para a função próximo do ponto de tangência.

Esta figura mostra o gráfico de

e uma linha tangente à função no ponto (9, 3). Você pode ver que próximo (9, 3), a curva ea linha tangente são praticamente indistinguíveis.

Determinar a equação desta linha tangente é uma brisa. Você tem um ponto, (9, 3), ea inclinação é dada pela derivada de f às 9:

Agora é só aproveitar esta inclinação, 1/6, e o ponto (9, 3), e ligá-los na forma ponto-inclinação:

Zoom sobre o ponto (9, 3) um par de vezes, e você vê que a curva fica mais reto e reto e a linha curva e tangentes chegar mais perto e mais perto.

Agora, digamos que você quer para aproximar a raiz quadrada de 10. Porque 10 é bastante próximo de 9, e porque você pode ver na figura que f(x) E sua linha tangente estão perto uns dos outros em x = 10, o y-coordenadas da linha de x = 10 é uma boa aproximação do valor da função em x = 10, nomeadamente

Basta ligá-10 na equação de linha para sua aproximação:

Assim, a raiz quadrada de 10 é de cerca de

Esta é apenas cerca de 0.004 mais do que a resposta exata de 3,1623 # de erro 133-.A é aproximadamente um décimo de um por cento.

Esta forma faz com que seja mais fácil de fazer o cálculo e mais fácil de entender o que está acontecendo quando você calcular uma aproximação linear. Aqui está o porquê. Você sabe que a linha tangente passa pelo ponto (9, 3), certo? E você sabe o declive da linha é 1/6. Assim, você pode começar em (9, 3) e vá para a direita (ou esquerda) ao longo da linha da forma escada-passo, como mostrado na figura abaixo: mais de 1, até 1 / 6- mais de 1, até 1 / 6, e assim por diante.

Então, quando você está fazendo uma aproximação, você começa em um y-valor de 3 e ir até 1/6 para cada um que você vá para a direita. Ou se você vai para a esquerda, você vai para baixo 1/6 para cada um que você vá para a esquerda. Quando a equação da linha é escrito na forma acima, o cálculo de uma aproximação linear paralela este esquema degrau de escada.

A figura mostra os valores aproximados para as raízes quadradas de 7, 8, 10, 11 e 12. Veja como você chegar a esses valores.