Como identificar o Min e Max em parábolas verticais

parábolas verticais dar uma importante peça de informação: Quando a parábola se abre, o vértice é o ponto mais baixo no gráfico - o chamado mínimo, ou min. Quando a parábola abre para baixo, o vértice é o ponto mais alto no gráfico - o chamado máximo, ou max.

Somente parábolas verticais podem ter valores mínimos ou máximos, porque parábolas horizontais não têm limite de quão alto ou quão baixo eles podem ir. Encontrar o máximo de uma parábola pode dizer-lhe a altura máxima de uma bola lançada ao ar, a superfície máxima de um retângulo, o valor mínimo de lucro da empresa, e assim por diante.

Por exemplo, digamos que um problema pede para você encontrar dois números cuja soma é 10 e cujo produto é um máximo. É possível identificar duas equações diferentes escondidas nesta uma frase:

x + y = 10

xy = MAX

Se você é como a maioria das pessoas, você não gosta de misturar variáveis ​​quando você não tem que, assim que você deve resolver uma equação para uma variável para substituir para o outro. Este processo é mais fácil se você resolver a equação que não inclui min ou max em tudo. Então se x + y = 10, você pode dizer y = 10 - x. Você pode conectar este valor para a outra equação para obter o seguinte:

(10 - x)x = MAX

Se você distribuir o x do lado de fora, você ganha 10x - x² = MAX. Este resultado é uma equação quadrática para o qual você precisa encontrar o vértice, completando o quadrado (o que coloca a equação no formulário que você está acostumado a ver que identifica o vértice). Encontrar o vértice, completando o quadrado dá-lhe o valor máximo. Para fazer isso, siga estes passos:

1. Reorganizar os termos em ordem decrescente.

   Este passo dá-lhe -x² + 10x = MAX.

2. Fatorar o termo líder.

   Você tem agora -1 (x² - 10x) = MAX.

3. Completar o quadrado.

   Este passo aumenta a equação de -1 (x² - 10x + 25) = MAX - 25. Observe que -1 na frente dos parênteses virou a 25 em -25, razão pela qual você deve adicionar -25 para o lado direito também.

4. O fator de informações dentro dos parênteses.

   Isto dá-lhe -1 (x - 5)² = MAX - 25.

5. Mover a constante para o outro lado da equação.

   Você acaba com -1 (x - 5)² + 25 = MAX.

O vértice da parábola é (5, 25). Portanto, o número que você está procurando (x) É 5, e o produto máximo é 25. Você pode conectar 5 por x para obter y Em ambos equação: 5 + y = 10, ou y = 5.

Esta figura mostra o gráfico da função máxima para ilustrar que o vértice, neste caso, é o ponto de máximo.