Como Guess e Check raízes reais - 3 - Raízes de teste por polinômios de divisão usando divisão sintética

Depois de ter utilizado o teorema da raiz racional para listar todos os raízes possiblerational de qualquer polinomial, o próximo passo é testar as raízes. Uma maneira é usar divisão sintética. divisão sintética é um atalho para a divisão longa de polinômios. É um caso especial de divisão quando o divisor é um factor de forma linear x + C, Onde c é uma constante.

Infelizmente, o atalho só funciona se o divisor (x + c) É um primeiro grau binomial com um coeficiente líder de 1 (você pode sempre fazê-lo 1 dividindo tudo pelo coeficiente que leva em primeiro lugar). Felizmente, você pode sempre usar divisão sintética para descobrir se uma possível raiz é na verdade uma raiz.

Aqui estão as etapas gerais para a divisão sintética:

1. Certifique-se o polinômio é escrito em ordem decrescente.

   O termo com o maior expoente vem em primeiro lugar.

2. Anote os coeficientes e a constante do polinômio da esquerda para a direita, preenchendo um zero termos de formulário de qualquer grau que são lugar perderam- a raiz que você está testando fora do sinal de divisão sintética.

   O sinal de divisão parece com os lados esquerdo e inferior de um retângulo. Deixe espaço abaixo dos coeficientes para escrever outra linha de números.

3. Suspenso o primeiro coeficiente abaixo do sinal de divisão.

4. Multiplique a raiz que você está testando pelo número que você acaba de cair para baixo e escrever a resposta abaixo do coeficiente seguinte.

5. Adicionar o coeficiente e do produto a partir do Passo 4 e colocar a resposta abaixo da linha.

6. Multiplique a raiz que você está testando com a resposta da Etapa 5 e colocar o produto abaixo do coeficiente seguinte.

7. Continue multiplicando e adicionando até que você use o último número no interior do sinal de divisão sintética.

   Se você receber um resto, o número testado não é uma raiz.

   Se a resposta for 0, parabéns! Você encontrou uma raiz. Os números abaixo do sinal de divisão sintética são os coeficientes do polinómio quociente. O grau deste polinómio é menos um do que o original (o dividendo), de modo que o expoente no primeiro x prazo deve ser um a menos do que o que você começou com.

Diga que você testar as raízes para a equação, f(x) = 2x⁴ - 9x³ - 21x² + 88x + 48, e de ter eliminado x = 2 usando divisão longa, então você sabe que não deve começar por aí. Então, você decide fazer a divisão sintética, como mostrado na figura para x = 4.

A 4 na parte externa na figura é a raiz que está testando. Os números do lado de dentro são os coeficientes do polinómio. Aqui está o processo sintético, passo a passo:

1. O 2 abaixo da linha só cai para baixo a partir da linha acima.

2. Multiplique 4 com 2 para obter 8 e escrever que, sob o próximo mandato, -9.

3. Adicionar -9 + 8 para obter -1.

4. Multiplique 4 com -1 para obter -4, e escrever que, sob a -21.

5. Adicionar -21 + -4 para obter -25.

6. Multiplique 4 com -25 para obter -100, e escrever que, em 88.

7. Adicionar 88 a -100 para obter -12.

8. Multiplique 4 com -12 a -48 obter, e escrever que, em 48.

9. Adicionar 48 a -48 para obter 0.

Tudo que você faz é multiplicar e adicionar, razão pela qual a divisão sintética é o atalho. O último número, 0, é o seu restante. Porque você tem um saldo de 0, x = 4 é uma raiz.

Os outros números são os coeficientes do quociente, a fim de o maior grau ao menos- no entanto, o quociente é sempre um grau menor do que o grau do polinómio originais. Assim, o quociente de, neste exemplo, é 2x³ - x² - 25x - 12.

Sempre que uma raiz funciona, você deve sempre testar automaticamente-lo novamente no quociente de resposta para ver se é uma raiz dupla, usando o mesmo processo. UMA raiz dupla ocorre quando um factor tem uma multiplicidade de dois. Uma raiz dupla é um exemplo de multiplicidade. você testa x = 4, novamente, como mostrado na figura.

Whaddya sabe? Você começa um resto de 0 novamente, então x = 4 é uma raiz dupla. (Em termos de matemática, você diz que x = 4 é uma raiz com multiplicidade de dois.) Você tem que verificá-lo novamente, embora, para ver se ele tem uma multiplicidade maior. Quando você divide sinteticamente x = 4 mais uma vez, ele não funciona. A figura a seguir ilustra essa falha. Uma vez que o restante não é 0, x = 4 não é uma raiz novamente.

Sempre trabalhar fora o mais novo quociente quando se utiliza divisão sintética. Desta forma, o grau fica menor e menor até que você acabar com uma expressão quadrática, ou até que você tenha esgotado todas as possíveis raízes racionais. Se uma expressão quadrática permanece, você pode resolver o quadrática usando técnicas como factoring, completando o quadrado, ou a fórmula quadrática.

Antes de testado x = 4 para um tempo final, o polinómio (denominado polinomial deprimido) Foi para baixo a uma quadrática: 2x² + 7x + 3. Se você fator essa expressão, você começa (2x + 1) (x + 3). Isso lhe dá mais duas raízes de -1/2 e -3. Para resumir tudo, você encontrou x = 4 (dois multiplicidade), x = -1/2, E x = -3. Você encontrou quatro raízes complexas - dois deles são números reais negativos, e dois deles são números reais positivos.

o teorema restante diz que o restante você começa quando youdivide um polinômio por um binomial é o mesmo que o resultado que obtém a partir de ligar o número no polinomial. Por exemplo, quando você usou a divisão longa dividir por x - 2, você estava testando para ver se x = 2 é uma raiz. Você poderia ter usado divisão sintética para fazer isso, porque você ainda obter um resto de 100. E se você ligá-2 em f(x) = 2x⁴ - 9x³ - 21x² + 88x + 48, você também terá 100.