Como Guess e Check raízes reais - 2 - Raízes de teste por polinômios de divisão usando divisão longa

Depois de ter utilizado o teorema da raiz racional para listar todos os raízes possiblerational de qualquer polinomial, o próximo passo é testar as raízes. Uma maneira é usar a divisão longa de polinômios e espero que quando você divide você obtém um saldo de 0. Uma vez que você tem uma lista de possíveis raízes racionais, você, em seguida, escolher um e assumir que é uma raiz.

Por exemplo, considere a equação f(x) = 2x⁴ - 9x³ - 21x² + 88x + 48, que tem as seguintes possíveis raízes racionais:

E se x = c é uma raiz, então x - c é um factor. Então, se você escolher x = 2 como o seu palpite para a raiz, x - 2 deve ser um fator. Você pode usar a divisão longa para testar se x - 2 é efectivamente um factor e, por conseguinte, x = 2 é uma raiz.

Dividindo polinômios para obter uma resposta específica não é algo que você faz todos os dias, mas a idéia de uma função ou expressão que está escrito como o quociente de dois polinômios é importante para pré-cálculo. Se você dividir um polinômio por outra e obter um saldo de 0, o divisor é um fator, que por sua vez dá uma raiz.

Em linguagem matemática, o algoritmo de divisão indica o seguinte: Se f(x) e d(x) São polinômios de tal forma que d(x) Não é igual a 0, e o grau de d(x) Não é maior do que o grau de f(x), Existem polinômios únicos q(x) e r(x)de tal modo que

Na planície Inglês, o dividendo é igual aos tempos divisor o quociente mais o restante. Você sempre pode verificar os seus resultados por lembrar esta informação.

Lembre-se do dispositivo mnemônicoDirty Monkeys Smell Bad ao fazer a divisão longa para verificar as suas raízes. Certifique-se de todos os termos do polinômio são listados em ordem decrescente e que cada grau é representado. Em outras palavras, se x² está faltando, coloque em um espaço reservado de 0x² e depois fazer a divisão. (Este passo é apenas para tornar o processo de divisão mais fácil.)

Para dividir dois polinômios, siga estes passos:

1. Divide.

   Divida o termo líder do dividendo pelo termo líder do divisor. Escrever este quociente diretamente acima o termo que você acabou dividida em.

2. Multiply.

   Multiplique o termo quociente do Passo 1 por todo o divisor. Escrever este polinomial sob o dividendo de modo que os termos como são alinhados.

3. Subtract.

   Subtrair toda a linha que você acabou de escrever a partir do dividendo.

   Você pode mudar todos os sinais e adicione se isso faz você se sentir mais confortável. Dessa forma, você não vai esquecer sinais.

4. Bo anel viário o próximo mandato.

   Não exatamente o que este diz-derrubar o próximo mandato do dividendo.

5. Repita os passos 1-4 mais e mais até o polinômio restante tem um grau que é menos do que o dividendo do.

A lista a seguir explica como dividir 2x⁴ - 9x³ - 21x² + 88x + 48 por x - 2. Cada etapa corresponde à etapa numeradas na ilustração desta figura.

(Note que usando a regra dos sinais de Descartes, você acha que esse exemplo específico pode ter raízes positivas, por isso é eficaz para tentar um número positivo aqui. Se a regra dos sinais de Descartes tinha dito que existia há raízes positivas, você não iria testar qualquer positivos !)

1. Divide.

   O que você tem que multiplicar x no divisor por torná-lo tornar-se 2x⁴ no dividendo? O quociente, 2x³, vai acima da 2x⁴ prazo.

2. Multiply.

   Multiplique este quociente pelo divisor e escrevê-lo sob o dividendo.

3. Subtract.

   Subtrair esta linha a partir do dividendo: (2x⁴ - 9x³) - (2x⁴ - 4x³) = -5x³. Se você já fez o trabalho direito, a subtração dos primeiros termos produz sempre 0.

4. Bo anel viário.

   Derrubar os outros termos do dividendo.

5. Divide.

   O que você tem que multiplicar x por fazê-lo -5x³? Coloque a resposta, -5x², acima a -21x².

6. Multiply.

   Multiplicar a -5x² vezes o x - 2 para obter -5x³ + 10x². Escrevê-lo sob o restante com os graus alinhados.

7. Subtract.

   agora você tem (-5x³ - 21x²) - (-5x³ + 10x²) = -31x².

8. Bo anel viário.

   a 88x toma o seu lugar.

9. Divide.

   O que multiplicar por fazer x tornar -31x²? O quociente -31x vai acima -21x².

10. Multiply.

    O valor -31x vezes (x - 2) é -31x² + 62x- escrevê-lo sob o restante.

11. Subtract.

    agora você tem (-31x² + 88x) - (-31x² + 62x), Que é 26x.

12. Bo anel viário.

    A 48 vem para baixo.

13. Divide.

    O termo 26x dividido por x é 26. Essa resposta vai em cima.

14. Multiply.

    A constante de 26 multiplicado por (x - 2) é 26x - 52.

15. Subtract.

    Você subtrair (26x + 48) - (26x - 52) para obter 100.

16. Stopo.

    O restante 100 tem um grau que é menos do que o divisor de x - 2.

Uau . . . agora você sabe por que eles chamam longo divisão. Você passou por tudo isso para descobrir que x - 2 não é um factor do polinómio, o que significa que x = 2 não é uma raiz.

Se você dividir por c e o restante é 0, então a expressão linear (x - c) É um fator e que c é uma raiz. Um remanescente diferente de 0 implica que (x - c) Não é um factor e que c não é uma raiz.