Como encontrar a área entre duas curvas

Para encontrar a área entre duas curvas, você precisa vir para cima com uma expressão para um rectângulo estreito que fica em uma curva e vai até outro.

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a partir de x = 0 a x = 1:

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Para obter a altura do retângulo representante na figura, subtrair o y-coordenada de sua parte inferior do y-Coordenada sua parte superior - que é

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Sua base é o infinitesimal dx. Assim, porque área é igual a altura vezes base,

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Agora você só somar as áreas de todos os retângulos de 0 a 1, integrando:

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Agora, para tornar as coisas um pouco mais torcida, no próximo problema das curvas se cruzam (ver figura abaixo). Quando isso acontece, você tem que dividir a área sombreada do total em regiões separadas antes de integrar. Tente este:

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a partir de x = 0 a x = 2.

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  1. Determinar onde as curvas se cruzam.

    Eles cruzam em (1, 1) - o que é um surpreendente coincidência! Então você tem duas regiões separadas - uma 0-1 e outra 1-2.

  2. Figura a área da região do lado esquerdo.

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  3. Figura a área da região à direita.

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  4. Adicionar-se as áreas das duas regiões para obter a área total.

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    # 8776- 3.11 unidades quadradas

Note-se que a altura de um rectângulo representativas, não é a sua topo menos o seu inferior, independentemente de estes números são positivos ou negativos. Por exemplo, um rectângulo que vai desde 20 até 30 tem uma altura de 30 - 20, ou 10 um rectângulo que vai desde -3 até 8 tem uma altura de 8 - (-3), ou 11 e um rectângulo que vai de -15 até -10 tem uma altura de -10 - (-15), ou 5.

Se você pensar sobre este método-top-minus fundo para descobrir a altura de um retângulo, agora você pode ver - supondo que você já não vê-lo - porque o integral definido de uma função conta área abaixo da x-eixo como negativo. Por exemplo, considere o seguinte figura.

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Qual é a área sombreada? Dica: não é

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Se você quer a área total da região sombreada mostra a figura, você tem que dividir a região sombreada em duas partes separadas como você fez no último problema.

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Para a primeira peça, a partir de 0 a pi, um rectângulo representante tem uma altura igual à própria função, y = Sin (x), Porque seu topo é sobre a função e sua parte inferior está em zero - e, claro, qualquer coisa menos zero é em si. Assim, a área da primeira peça é dado pelo integral definida comum

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o topo de um rectângulo representante é a zero - recordar que o x-a linha de eixo está y = 0 - e sua parte inferior está em y = Sin (x), Pelo que a sua altura (dada, é claro, pela parte inferior de menos de cima) é 0 - sin (x), Ou apenas -sin (x). Assim, para obter a área desta segunda peça, você descobrir a integral definida da negativo da função,

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porque este negativo integrante dá-lhe a comum, positivo área da peça abaixo da x-eixo, o positivo integral definida

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dá um negativo área. É por isso que se você descobrir a integral definida

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ao longo de toda a extensão, a peça abaixo da x-eixo conta como uma área negativa, ea resposta dá-lhe a líquido da zona superior do x-eixo menos a área por baixo do eixo -, em vez de a área sombreada total. Claro como lama?

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