Como encontrar uma linha perpendicular a uma curva

Uma linha normal a uma curva num dado ponto, é a linha perpendicular à linha que é tangente a esse mesmo ponto. Encontre os pontos de perpendicularidade para todas as linhas normais para a parábola

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que passam através do ponto (3, 15).

O gráfico da parábola e traçar o ponto (3, 15). Agora, antes de fazer a matemática, tentar aproximar os locais de todas as linhas normais. Quantos você pode ver? É muito fácil ver que, a partir de (3, 15), uma linha normal desce ligeiramente para a direita e outra vai para baixo um pouco mais acentuada para a esquerda. Mas você encontrar o terceiro que é entre esses dois? Não se preocupe se você não viu este, pois quando você fizer as contas, você obtém todas as três soluções.

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A figura mostra a parábola e as três linhas normais.

Olhando para a figura, você pode apreciar como prática esse problema é. É realmente vai vir a calhar se acontecer de você encontrar-se em pé dentro da curva de uma parede parabólica, e você quer saber a localização precisa dos três pontos na parede onde você poderia jogar uma bola e têm-lo saltar para trás para você.

A solução é muito semelhante à solução do problema linha tangente, exceto que, neste problema que você usar a regra para linhas perpendiculares:

As pistas de linhas perpendiculares são inversos opostos.

Cada linha normal na figura é perpendicular à linha tangente traçada no ponto em que o normal, encontra a curva. Assim, a inclinação de cada linha normal é o recíproco oposto da inclinação da tangente correspondente - o que, naturalmente, é dada pelo derivado. Então aqui vai.

  1. Tome um modo geral, (x, y), Sobre a parábola

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    e substituto

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    para y.

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  2. Aqui o derivado da parábola.

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  3. Usando a fórmula de inclinação, definir a inclinação de cada linha normal a partir de (3, 15) para

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    igual ao inverso oposto do derivado de

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    e para resolver x.

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    Agora, não há nenhuma maneira automática para obter soluções exatas para isso (3º grau) equação cúbica como a maneira como a fórmula quadrática dá-lhe as soluções para uma equação de segundo grau. Em vez disso, pode representar graficamente

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    e a x-intercepta dar-lhe as soluções. (Com este método, no entanto, não há garantia de que você vai ter exatamente Solutions, muitas vezes, soluções aproximadas são o melhor que você pode fazer com equações cúbicas.) Mas neste problema que você sorte out e as soluções exatas de -8, - 4 e 12.

  4. Ligue cada um dos x-coordenadas (-8, -4 e 12) dentro

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    para se obter o y-coordena.

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Assim, os três pontos de normalidade são (-8, 4), (-4, 1), e (12, 9).

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