Como encontrar o valor médio de uma função com o Teorema do Valor Médio para Integrais

Você pode encontrar o valor médio de uma função ao longo de um intervalo fechado, usando o teorema do valor médio para integrais. A melhor maneira de entender o teorema do valor médio é com um diagrama - confira abaixo.

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O gráfico ao lado mostra um retângulo cuja área é claramente Menos do que a área sob a curva entre 2 e 5. Este rectângulo tem uma altura igual ao ponto mais baixo na curva no intervalo de 2 a 5.

O gráfico do meio mostra um rectângulo cuja altura é igual ao ponto mais elevado da curva entre 2 e 5. A sua área é claramente maior do que a área sob a curva. Até agora você está pensando, # 147-não há um retângulo mais alto do que o curto e mais curto do que o mais alto cuja área é o mesmo que a área sob a curva? # 148- Claro. E este rectângulo, obviamente, cruza a curva em algum lugar no intervalo. Este assim chamado valor médio rectângulo, mostrado à direita, basicamente, resume o Teorema do Valor Médio para Integrais.

É realmente apenas senso comum. Mas aqui está o jumbo de matemática mumbo.

O teorema do valor médio para integrais: E se f (x) É uma função contínua no intervalo fechado [a, b], Então existe uma série c no intervalo fechado de tal modo que

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O teorema basicamente apenas garante a existência do valor médio retângulo.

A área do rectângulo valor médio - o que é o mesmo que a área sob a curva - iguais comprimento vezes largura, ou base vezes altura, certo?

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Esta altura é a valor médio da função no intervalo em questão.

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Aqui está um exemplo. Qual é a velocidade média de um carro entre t = 9 segundos e t = 16 segundos, cuja velocidade em pé por sicond é dado pela função,

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De acordo com a definição do valor médio, esta velocidade média é dada pela

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  1. Determinar a área sob a curva entre 9 e 16.

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    Esta área, por sinal, é a distância total percorrida de 9 a 16 segundos. Você vê por quê? Considere o rectângulo valor médio para este problema. Sua altura é de uma velocidade (porque os valores da função, ou alturas, são velocidades) e sua base é uma quantidade de tempo, pelo que a sua área é velocidade vezes Tempo o que equivale distância. Como alternativa, lembre-se que o derivado da posição é a velocidade. Assim, a antiderivada de velocidade - o que você fez nesta etapa - é a posição, ea mudança de posição, de 9 a 16 segundos dá a distância total percorrida.

  2. Dividir esta área, a distância total, por o intervalo de tempo 9-16, ou seja, 7.

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    # 8776- 105,7 pés por segundo

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    Faz mais sentido pensar sobre esses problemas em termos de divisão: área é igual a base vezes altura, de modo que a altura do retângulo valor médio é igual a sua área dividido pela sua base.

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