Como avaliar uma integral imprópria ou seja, horizontalmente Infinito

integrais impróprias são úteis para a resolução de uma variedade de problemas. UMA horizontalmente infinita integral imprópria contém quer # 8734- ou - # 8734- (ou ambos) como um limite de integração.

Avaliando uma integral imprópria é um processo de três etapas:

  1. Expressar a integral imprópria como o limite de uma integral adequada.

  2. Avaliar a integral por qualquer método funciona.

  3. Avaliar o limite.

A integral imprópria horizontal ocorre quando uma integral definida tem um limite de integração que é ou # 8734- ou - # 8734-. Este tipo de integral imprópria é fácil de detectar, porque o infinito é logo ali na própria integral. Não tem como se perder.

Por exemplo, suponha que pretende avaliar a seguinte integral imprópria:

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Aqui está como fazê-lo, passo a passo:

  1. Expressar a integral imprópria como o limite de uma integral adequada.


    Quando o limite superior é de integração # 8734-, use esta equação:

    image1.png

    Então aqui está o que você faz:

    image2.png
  2. Avaliar a integral:

    image3.png
  3. Avaliar o limite:

    image4.png

Antes de prosseguir, refletir por um momento que a área sob um infinitamente longa curva é realmente finito. Ah, a magia e poder de cálculo!

Da mesma forma, suponha que você deseja avaliar o seguinte:

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Veja como fazer isso:

  1. Expressar a integral como o limite de uma integral adequada.

    Quando o limite inferior de integração é - # 8734-, usar esta equação:

    image6.png

    Então aqui está o que você escreve:

    image7.png
  2. Avaliar a integral:

    image8.png
  3. Avaliar o limite - neste caso, como c aproxima - # 8734-, o primeiro termo é afetado e o segundo termo se aproxima de 0:

    image9.png

Mais uma vez, cálculo diz que, neste caso, a área sob a curva de infinitamente longo é finito.

Claro que, por vezes, a área sob uma curva de infinitamente longo é infinita. Nestes casos, o integral imprópria não pode ser avaliada dado que o limite não existe (DNE). Aqui está um exemplo rápido que ilustra essa situação:

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Pode não ser óbvio que este integral imprópria representa uma área infinitamente grande. Depois de tudo, o valor da função como se aproxima de 0 x aumenta. Mas cuidado como essa avaliação se desenrola:

  1. Expressar a integral imprópria como o limite de uma integral adequada:

    image11.png
  2. Avaliar a integral:

    image12.png

Neste ponto, você pode ver que o limite explode ao infinito, por isso não existe. Portanto, a integral imprópria não pode ser avaliada, porque a área que ela representa é infinito.

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