Como calcular o comprimento Arc com Integração

Quando você usar a integração para calcular o comprimento do arco, o que está fazendo (tipo de) está dividindo um comprimento de curva em infinitamente pequenas seções, descobrir o comprimento de cada pequena parte e, em seguida, adicionando-se todos os pequenos comprimentos. A figura a seguir mostra como cada seção de uma curva pode ser aproximada pela hipotenusa de um pequeno triângulo certo.

O Teorema de Pitágoras é a chave para a fórmula comprimento do arco.
O Teorema de Pitágoras é a chave para a fórmula comprimento do arco.

Você pode imaginar que ao aumentar o zoom mais e mais em uma curva, dividindo a curva em mais e mais secções, as secções hora se endireitarem e reto e os hipotenusa dos triângulos retângulos melhor e melhor aproximar a curva. É por isso que - quando esse processo de somar seções menores e menores é levado ao limite - você começa a duração exacta da curva.

Então, tudo que você tem a fazer é somar todas as hipotenusa ao longo da curva entre os pontos de partida e chegada. Os comprimentos das pernas de cada triângulo são infinitesimal dx e dy, e, portanto, o comprimento da hipotenusa - dada pelo Teorema de Pitágoras - é

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Para somar todos os hipotenusa de uma para b ao longo da curva, você só integrar:

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Mas, primeiro, você tem que ajustar isso um pouco para produzir a fórmula para o comprimento do arco.

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O comprimento de arco ao longo de uma curva, y=f(x), a partir de uma para b, é dado pela seguinte integral:

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A expressão dentro desta integral é simplesmente o comprimento da hipotenusa de um representante.

Tente esta: Qual é o comprimento ao longo

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a partir de x = 1 a x = 5?

  1. Tome a derivada de sua função.

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  2. Ligue este na fórmula e integrar.

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    (Veja como isso funciona? É a técnica de integração palpite-e-check com a regra de potência reversa. O 4/9 é a quantidade de tweak você precisa por causa do coeficiente 9/4).

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Agora, se você alguma vez encontrar-se em uma estrada com a forma de

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e do seu odômetro quebrado, você pode descobrir o tamanho exato da sua unidade. Seus amigos serão muito impressionado - ou muito preocupados.

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