Como aproximar Área com ponto médio retângulos

Uma boa maneira de aproximar áreas com retângulos é fazer com que cada retângulo atravessar a curva no ponto médio do lado de cima desse retângulo. A soma do ponto médio é muito melhor estimativa da área do que qualquer uma esquerda; retângulo ou direita; retângulo soma. A figura abaixo mostra o porquê.

Você pode ver na figura que a parte de cada retângulo que é acima da curva parece aproximadamente o mesmo tamanho como a diferença entre o retângulo e da curva. A soma ponto médio produz uma boa estimativa tal, porque esses dois erros aproximadamente anulam mutuamente.

A figura acima mostra como você usaria três retângulos ponto médio para estimar a área sob

de 0 a 3. Para os três rectângulos, as suas larguras são 1 e as suas alturas são f(0,5) = 1,25, f(1,5) = 3,25, e f(2,5) = 7,25. Área = base x altura, então adicione 1,25 + 3,25 + 7,25 para obter a área total de 11,75.

Usando a integral definida, você achar que a área exata sob esta curva acaba por ser 12, de modo que o erro com esta estimativa de três ponto médio-retângulos é de 0,25. Contraste isso com o muito piores erros do três-esquerda; retângulos estimativa e os três-direita; retângulos estimativa de 4,0 e 5,0, respectivamente.

Aqui é a regra do ponto médio oficial:

ponto médio Regra rectângulo-Pode aproximar-se da área sob uma curva exacta entre uma e b,

com um ponto médio soma dos rectângulos dada pela seguinte fórmula. Em geral, quanto mais retângulos, melhor a estimativa:

Onde, n é o número de rectângulos,

é a largura de cada rectângulo, e os valores da função são as alturas dos rectângulos.