Encontrar áreas exatas sob uma curva Usando o Definite Integral

Ao aproximar a área sob a curva, usando a esquerda, direita ou ponto médio retângulos, os mais retângulos que você usa, melhor será a aproximação. Assim, "todos" você teria que fazer para obter a área exata sob uma curva é usar um número infinito de retângulos. Agora, você não pode realmente fazer isso, mas com a fantástica invenção de limites, isto é uma espécie do que acontece. Aqui está a definição da integral definida que é usado para calcular áreas exatas.

o integral definida ("simples" definição):A área exata sob uma curva entre x = uma e x = b é dado pelo integral definida, que é definido como o limite de uma soma de Riemann:

image0.png

Isso é uma coisa de beleza ou o quê? Note-se que esta soma (tudo para a direita de "lim") é idêntica à fórmula para n retângulos direita, Rn:

image1.png

A única diferença é que você tome o limite do que a fórmula como o número de retângulos se aproxima do infinito

image2.png

Esta definição da integral definida é a versão simples com base na fórmula retângulo direita. Você vai ver a definição real-McCoy em um momento, mas porque todas as somas de Riemann para um problema específico tem o mesmo limite - em outras palavras, não importa que tipo de retângulos que você usa - assim como você pode utilizar o direito; definição retângulo. É o menos complicado e sempre vai ser suficiente.

Six & lt; i>rightlt; / i> retângulos aproximar a área sob lt; i> f lt; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; i> lt; sup> 2LT; / sup
Seis certo rectângulos aproximar a área sob f (x) = x2+ 1 entre 0 e 3.

Aqui é a área exata sob f(x) = x2+ 1 entre x = 0 e x = 3:

image4.png

Grande surpresa.


Este resultado é bastante surpreendente se você pensar sobre isso. Usando o processo de limite, você receber um exato resposta de 12 - algo como 12,00 milhões ... a um número infinito de casas decimais - para a área sob a função suave, curvando f(x) = x2+ 1, com base nas áreas dos rectângulos achatadas que correm ao longo da curva de uma forma irregular, em dente de serra.

Encontrar a área exata de 12 usando o limite de uma soma de Riemann é um monte de trabalho (lembre-se, você primeiro tem que determinar a fórmula para n retângulos direita). Este método complicado de integração é comparável a determinar um derivado da maneira mais difícil, usando a definição formal que é com base no quociente diferença.

Uma vez que o limite de todas as somas de Riemann é a mesma, os limites de, no infinito n rectângulos esquerda e n retângulos ponto médio - para f(x) = x2+ 1 entre x = 0 e x = 3 - deve dar-lhe o mesmo resultado que o limite no infinito de n retângulos certas. Aqui é o limite retângulo esquerda:

image5.png

E aqui está o limite de retângulo ponto médio:

image6.png

Se você é um tanto incrédulo que estes limites realmente dar-lhe o exato área sob f(x) = x2+ 1 entre 0 e 3, você não está sozinho. Afinal, nestes limites, como em todos os problemas de limite, o número seta

image7.png

é apenas aproximaram- nunca é realmente atingido. E em cima disso, o que significaria para alcançar o infinito? Você não pode fazê-lo. E independentemente de quantos retângulos que você tem, você sempre tem que borda irregular, dente de serra. Então, como pode um tal método dar-lhe a área exata?

Olhe isto deste modo. Dê uma olhada nas duas figuras seguintes.

A área exata no & lt; i>flt; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 2LT; / sup> + 1 entre lt; i> XLT; / i> = 0 e lt; i> XLT; /
A área exata sob f (x) = x2 + 1 entre x = 0 e x 3 = (esquerda) é aproximada pela área de três rectângulos (direita).
SeisF (x) = x2 + 1. "/>
Seis retângulos "esquerda" aproximar a área sob f (x) = x2 + 1.

Você pode dizer a partir desses números que a soma das áreas dos retângulos esquerda, independentemente do seu número, será sempre um debaixoestimar (este é o caso para as funções que estão a aumentar ao longo do período em questão).

E a partir da figura a seguir, você pode ver que a soma das áreas dos retângulos certas, independentemente de quantos você tem, será sempre um sobreestimar (para funções aumentando).

Três retângulos direito usados ​​para aproximar a área sob & lt; i>flt; / i> (lt; i> XLT; / i>) = lt; i> XLT; / i> lt; sup> 2LT; / sup
Três retângulos certas usada para aproximar a área sob f (x) = x2 + 1.

Então, porque os limites no infinito da subestimação ea superestimação são ambos igual a 12, que deve ser a área exata. (Um argumento similar funciona para as funções diminuindo.)

Todas as somas de Riemann para um determinado problema de ter o mesmo limite. Não são apenas os limites no infinito da esquerda, retângulos direita, e do ponto médio do mesmas para um determinado problema, o limite de qualquer soma de Riemann também lhe dá a mesma resposta. Você pode ter uma série de retângulos com desigual widths- você pode ter uma mistura de esquerda, direita, e rectangles- ponto médio ou você pode construir os retângulos forma que elas toquem a curva em algum lugar diferente em seus cantos superiores esquerdo ou direito ou nos pontos médios de seus lados superiores. A única coisa que importa é que, no limite, a largura de todos os retângulos tende a zero (e a partir deste segue-se que o número de retângulos se aproxima do infinito). Isso leva você para o seguinte totalmente extremo baixo-e-suja jumbo, mumbo integração que leva todas essas possibilidades em conta.

o integral definida (Definição real-McCoy): A integral definida de

image11.png

é o número para o qual todas as somas de Riemann tendem como a largura de todos os rectângulos tende para zero e como o número de rectângulos se aproxima do infinito:

image12.png

é a largura da Euth retângulo e cEu é o x-de coordenadas do ponto em que o Eutoques retângulo th f (x). (Que

image13.png

simplesmente garante que a largura de todas as rectângulos se aproxima de zero, e que o número de rectângulos se aproxima do infinito).

» » » » Encontrar áreas exatas sob uma curva Usando o Definite Integral