Expressando Funciona como Series de energia usando a série Maclaurin

o série Maclaurin é um modelo que lhe permite expressar muitas outras funções como a série de potência. Esta é a fonte de fórmulas para expressar tanto pecado x e COS x série como infinito.

Sem mais delongas, aqui está:

image0.png

a notação f(n) significa # 147-a nth derivado de f.# 148- Isto torna-se mais claro na versão expandida da série Maclaurin:

image1.png

A série Maclaurin lhe permite expressar funções como séries de potência, seguindo estes passos:

  1. Encontrar as primeiras derivadas da função até que você reconhecer um padrão.

  2. Substituir 0 por x em cada um destes derivados.

  3. Ligue estes valores, termo a termo, na fórmula para a série de Maclaurin.


  4. Se possível, expressar a série em notação sigma.

Por exemplo, suponha que você quer encontrar a série de Maclaurin para ex.

  1. Localizar os primeiros derivados de ex até que você reconhecer um padrão:

    image2.png
  2. Substituir 0 por x em cada um destes derivados.

    image3.png
  3. Ligue estes valores, termo a termo, na fórmula para a série Maclaurin:

    image4.png
  4. Se possível, expressar a série na notação sigma:

    image5.png

Para verificar esta fórmula, usá-lo para estimar e0 e e1 substituindo por 0 e 1, respectivamente, para os seis primeiros termos:

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Este exercício pregos e0 exatamente, e se aproxima e1 com duas casas decimais. A série de Maclaurin para ex permite calcular esta função para qualquer valor de x para qualquer número de casas decimais.

No entanto, a série de Maclaurin para ex funciona melhor quando x está próximo de 0. Como x afasta-se 0, você precisa calcular mais termos para obter o mesmo nível de precisão.

Mas agora, você pode começar a ver porque a série Maclaurin tende a proporcionar melhores aproximações para valores próximos de 0: O número 0 é # 147-hardwired # 148- na fórmula como f(0), f'(0), f"(0), e assim por diante.

Aproximando o pecado & lt; i>xlt;. / i>, utilizando a série Maclaurin
aproximando pecado x usando a série de Maclaurin.

A figura ilustra este ponto. O primeiro gráfico mostra o pecado x aproximada, utilizando os dois primeiros termos da série Maclaurin - isto é, como o polinómio de terceiro grau

image8.png

O segundo gráfico mostra uma aproximação do pecado x com quatro termos.

Como você pode ver, cada aproximação sucessiva aperfeiçoa a anterior. Além disso, cada equação tende a fornecer a sua melhor aproximação quando x está próxima de 0.

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