Expressando Funciona como Series de energia usando a série Maclaurin

o série Maclaurin é um modelo que lhe permite expressar muitas outras funções como a série de potência. Esta é a fonte de fórmulas para expressar tanto pecado x e COS x série como infinito.

Sem mais delongas, aqui está:

a notação f⁽ⁿ⁾ significa # 147-a nth derivado de f.# 148- Isto torna-se mais claro na versão expandida da série Maclaurin:

A série Maclaurin lhe permite expressar funções como séries de potência, seguindo estes passos:

1. Encontrar as primeiras derivadas da função até que você reconhecer um padrão.

2. Substituir 0 por x em cada um destes derivados.

3. Ligue estes valores, termo a termo, na fórmula para a série de Maclaurin.

4. Se possível, expressar a série em notação sigma.

Por exemplo, suponha que você quer encontrar a série de Maclaurin para e^x.

1. Localizar os primeiros derivados de e^x até que você reconhecer um padrão:

   

2. Substituir 0 por x em cada um destes derivados.

   

3. Ligue estes valores, termo a termo, na fórmula para a série Maclaurin:

   

4. Se possível, expressar a série na notação sigma:

   

Para verificar esta fórmula, usá-lo para estimar e⁰ e e¹ substituindo por 0 e 1, respectivamente, para os seis primeiros termos:

Este exercício pregos e⁰ exatamente, e se aproxima e¹ com duas casas decimais. A série de Maclaurin para e^x permite calcular esta função para qualquer valor de x para qualquer número de casas decimais.

No entanto, a série de Maclaurin para e^x funciona melhor quando x está próximo de 0. Como x afasta-se 0, você precisa calcular mais termos para obter o mesmo nível de precisão.

Mas agora, você pode começar a ver porque a série Maclaurin tende a proporcionar melhores aproximações para valores próximos de 0: O número 0 é # 147-hardwired # 148- na fórmula como f(0), f'(0), f"(0), e assim por diante.

A figura ilustra este ponto. O primeiro gráfico mostra o pecado x aproximada, utilizando os dois primeiros termos da série Maclaurin - isto é, como o polinómio de terceiro grau

O segundo gráfico mostra uma aproximação do pecado x com quatro termos.

Como você pode ver, cada aproximação sucessiva aperfeiçoa a anterior. Além disso, cada equação tende a fornecer a sua melhor aproximação quando x está próxima de 0.