Calcular limites de erro para Taylor Polinômios

Um polinômio Taylor se aproxima do valor de uma função, e em muitos casos, é útil para medir a precisão de uma aproximação. Esta informação é fornecida pela Taylor prazo restante:

f(x) = T_n(x) + R_n(x)

Note-se que a adição do restante do prazo R_n(x) Transforma a aproximação em uma equação. Aqui está a fórmula para o restante do prazo:

É importante ficar claro que esta equação é verdade para um específico valor de c no intervalo entre uma e x. ele faz não trabalhar para apenas qualquer valor de c em que intervalo.

Idealmente, o termo restante dá-lhe a diferença exata entre o valor de uma função e à aproximação T_n(x). No entanto, porque o valor de c é incerto, na prática, o termo restante realmente fornece um cenário de pior caso para o seu aproximação.

O exemplo a seguir deve ajudar a tornar esta ideia clara, usando o sexto grau Taylor polinomial para cos x:

Suponha que você use esse polinomial para aproximar cos 1:

Qual é a precisão desta aproximação provável que seja? Para descobrir, usar o termo restante:

cos 1 = T₆(x) + R₆(x)

Adicionando o restante mudanças prazo associados essa aproximação em uma equação. Aqui está a fórmula para o restante do prazo:

Assim, substituindo por 1 x da-te:

Neste ponto, você está, aparentemente, preso, porque você não sabe o valor do pecado c. No entanto, você pode conectar c = 0 e c = 1 para dar-lhe uma gama de possíveis valores:

Tenha em mente que esta desigualdade ocorre devido ao intervalo envolvidos, e porque isso sine aumenta nesse intervalo. Você pode obter um limite diferente, com um intervalo diferente.

Isso simplifica a proporcionar uma aproximação muito perto:

Assim, o termo restante prevê que o valor aproximado calculado anteriormente estarão dentro 0,00017 do valor real. E, na verdade,

Como você pode ver, a aproximação está dentro dos limites de erro previstos pelo restante do prazo.