Econometria e a função densidade de probabilidade (PDF)
UMA função densidade de probabilidade
(PDF) mostra as probabilidades de uma variável aleatória para todos os seus possíveis valores. As probabilidades associadas com os valores específicos (ou eventos) de uma variável aleatória deve aderir às propriedades
Onde xj representa os valores possíveis (resultados) da variável aleatória X. Em outras palavras, a probabilidade de qualquer modo aleatório que ocorre deve ser em qualquer lugar a partir de impossível (probabilidade de 0) a determinadas (de probabilidade 1), e a soma das probabilidades para todos os eventos devem ser 1 (ou 100 por cento).
O PDF para variáveis aleatórias discretas
Se você está observando uma variável aleatória discreta, o PDF pode ser descrita em uma tabela ou gráfico. Para construir uma tabela, você configura uma coluna com os valores possíveis de sua variável aleatória e uma coluna com a probabilidade de que eles vão ocorrer.
Numa representação gráfica da PDF (um gráfico de barras), que seria colocar os valores possíveis da variável aleatória sobre o eixo horizontal, e a altura das barras verticais em cada valor mostram a probabilidade que elas ocorrem.
Suponha que você executar um experimento que consiste em lançar três moedas ao mesmo tempo. Você está interessado no número de vezes que a terra heads up, então ligue para o número de cabeças observado variável aleatória X. A tabela lista os possíveis resultados desta experiência e os valores para x gerado a partir do processo.
| Resultado | primeiro Coin | segundo Coin | terceiro Coin | Número de cabeças, X |
|---|---|---|---|---|
| 1 | T | T | T | 0 |
| 2 | T | T | H | 1 |
| 3 | T | H | T | 1 |
| 4 | H | T | T | 1 |
| 5 | T | H | H | 2 |
| 6 | H | H | T | 2 |
| 7 | H | T | H | 2 |
| 8 | H | H | H | 3 |
Dos oito resultados possíveis, você obter 0 cabeças em um resultado, uma cabeça em três resultados, 2 cabeças em três resultados, e 3 cabeças em um resultado. Você pode resumir as informações com uma representação tabular ou gráfica do PDF para x.
Você vê 8 resultados totais e quatro valores possíveis para x: 0, 1, 2 e 3. Esta informação permite calcular a probabilidade associada a cada x valor. Por exemplo, x = 0 ocorre apenas uma vez, por isso, f(x = 0) = 1/8 = 0,125. A tabela a seguir mostra as probabilidades para a outra x valores e uma forma tabular do PDF.
| x | F (x) |
|---|---|
| 0 | 1/8 = 0,125 |
| 1 | 3/8 = 0,375 |
| 2 | 3/8 = 0,375 |
| 3 | 1/8 = 0,125 |
Note-se que as probabilidades de a direita; coluna do lado somam 1. O total de probabilidades para qualquer experimento deve sempre igual a 1.
O PDF para variáveis aleatórias contínuas
Se você está observando uma variável aleatória contínua, o PDF pode ser descrita em uma função ou gráfico. A função mostra como a variável aleatória se comporta durante qualquer intervalo de valores possíveis. Numa representação gráfica da PDF, os valores possíveis da variável aleatória estão no eixo horizontal, e uma curva (sem quaisquer barras ou quebras) é um lugar acima do eixo.
A PDF contínua mais comum é que, de uma variável aleatória com distribuição normal. A representação gráfica deste PDF é mostrado aqui.
Independentemente de os valores da média e desvio padrão, a densidade total (área) sob a curva é igual a 1. Além disso, cerca de 68 por cento da densidade está dentro de um desvio padrão, de cerca de 95 por cento da densidade está dentro de dois desvios desvios, e cerca de 99,7 por cento da densidade está dentro de três desvios padrão.
Uma vez que uma variável aleatória contínua pode assumir um número infinito de valores, a probabilidade de que um valor específico ocorre é zero!
Um exemplo pode ajudar a ilustrar este ponto. Suponha que um professor escolhe aleatoriamente um de seus alunos econometria. Qual é a probabilidade de que o aluno será exatamente 21 anos de idade? Resposta: essencialmente zero.
A razão é que o aluno teria de ser selecionado aleatoriamente no preciso dia, hora, minuto, segundo, e fração de segundo que ele ou ela nasceu há 21 anos. Isso seria praticamente impossível. Haveria, no entanto, haver alguma chance de selecionar aleatoriamente um aluno que está entre as idades de 20 e 22.
Probabilidades com variáveis aleatórias contínuas são medidos durante os intervalos. Matematicamente, esta medição é expressa como probabilidade
Onde xuma e xb são possíveis valores que podem ser tomadas pela variável aleatória x.
