Trabalhando com tridimensional osciladores harmónicos

Na física quântica, quando você está trabalhando em uma dimensão, a partícula geral oscilador harmônico parece com a figura mostrada aqui, onde a partícula está sob a influência de uma força de restauração - neste exemplo, ilustrado como uma mola.

Um oscilador harmônico.
Um oscilador harmônico.

A força restauradora tem a forma Fx = -kxx em uma dimensão, onde kxé a constante de proporcionalidade entre a força sobre a partícula e a localização da partícula. A energia potencial da partícula como função da localização x é

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Isto também é por vezes escrito como

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Agora, dê uma olhada no oscilador harmônico em três dimensões. Em três dimensões, o potencial parece com isso:

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Agora que você tem um formulário para o potencial, você pode começar a falar em termos de equação Schr # de 246-dinger:

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Substituindo na para o potencial de três dimensões, V (X, Y, Z), Dá-lhe esta equação:

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Tome esta dimensão por dimensão. Porque você pode separar o potencial em três dimensões, você pode escrever

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Portanto, o Schr # equação 246-dinger parece com isso para x:

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Resolver essa equação, você receber essa solução seguinte:

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Onde

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e nx = 0, 1, 2, e assim por diante. o Hnx termo indica um polinômio hermite, que se parece com isso:

  • H0(x) 1 =

  • H1(x) = 2x

  • H2(x) 4 =x2 - 2

  • H3(x) 8 =x3 - 12x

  • H4(x) = 16x4 - 48x2 + 12

  • H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Portanto, você pode escrever a função de onda como esta:

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Isso é uma forma relativamente fácil para uma função de onda, e é tudo possível graças ao fato de que você pode separar o potencial em três dimensões.

E sobre a energia do oscilador harmônico? A energia de um oscilador harmónico unidimensional é

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E, por analogia, a energia de um oscilador harmónico tridimensional é dada pela

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Note que se você tiver um oscilador harmônico isotrópico, onde

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a energia parecida com esta:

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Quanto ao potencial cúbico, a energia de um oscilador harmónico isotrópico 3D é degenerada. Por exemplo, E112 = E121 = E211. Na verdade, é possível ter mais de degenerescência tríplice para um oscilador harmônico isotrópico 3D - por exemplo, E200 = E020 = E002 = E110 = E101 = E011.

Em geral, a degenerescência de um oscilador de harmónica é isotrópica 3D

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Onde n = nx + ny + nz.

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