Quando usar coordenadas esféricas Em vez de coordenadas retangulares

Na física quântica, às vezes você precisa usar coordenadas esféricas, em vez de coordenadas retangulares. Por exemplo, digamos que você tem um potencial caixa de 3D, e suponha que o poço de potencial que a partícula está preso na aparência como este, que é adequado para trabalhar com coordenadas retangulares:

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Porque você pode facilmente quebrar este potencial para baixo na x, y, e z direções, você pode quebrar a função de onda para baixo dessa maneira, também, como você pode ver aqui:

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Resolvendo para a função de onda dá-lhe o seguinte resultado normalizada em coordenadas retangulares:

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Os níveis de energia também se dividem em contribuições separadas de todos os três eixos retangulares:

E = Ex + Ey + Ez

E resolvendo para E dá-lhe esta equação:

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Mas e se o potencial bem uma partícula está preso em tem simetria esférica, não retangular? Por exemplo, e se o poço de potencial estava a olhar como este, onde r é o raio da localização da partícula no que diz respeito à origem e onde uma é uma constante?

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Claramente, tentando encher este tipo de problema em uma rectangular-coordena tipo de solução é apenas pedindo para ter problemas, porque embora você pode fazê-lo, ele envolve lotes de senos e co-senos e resulta em uma solução bastante complexa. Uma muito melhor tática é resolver este tipo de problemas no sistema de coordenadas natural em que o potencial é expressa: coordenadas esféricas.

A figura a seguir mostra o sistema de coordenadas esféricas, juntamente com as coordenadas retangulares correspondentes, x, y, e z.

O sistema de coordenadas esféricas.
O sistema de coordenadas esféricas.

No sistema de coordenadas esférica, a localizar pontos com um vector chamado raio r, que tem três componentes:

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