Como adicionar vetores Juntos

Você está frequentemente solicitado para adicionar vetores na resolução de problemas de física. Para adicionar dois vetores, você colocá-los cabeça à cauda e, em seguida, encontrar o comprimento ea magnitude do resultado. A ordem na qual você adiciona os dois vetores não importa.

Por exemplo, suponha que você está indo para a grande convenção física e foram informados de que você vá 20 milhas a norte e, em seguida, 20 milhas para leste, até chegar lá. Em que ângulo é o centro de convenções de sua posição atual, e quão longe é?

Você pode escrever estes dois vectores como este (onde a leste é ao longo do positiva x eixo):

(0, 20)

(20, 0)

Neste caso, você precisa adicionar estes dois vetores, e você pode fazer isso apenas adicionando sua x e y componentes separadamente:

Faça as contas, e seu vetor resultante é (20, 20). Você acabou de completar a adição de vetores. Mas a questão pede o vector em termos de magnitude / ângulo, não coordenar termos. Então, qual é a magnitude do vector de você para a convenção de física? Você pode ver a situação na figura a seguir, onde você tem xe y e quer encontrar v.

achado v não é tão difícil, porque você pode usar o teorema de Pitágoras:

Conecte os números para obter

Assim, a convenção é de 28,3 milhas de distância. E sobre o ângulo teta? Você sabe

teta = tan^-1(y/x) = Tan^-1(20/20) = 45 graus

E é isso - agora você sabe que a convenção é de 28,3 milhas de distância em um ângulo de 45 graus.

pergunta amostra

1. Adicione os dois vetores na figura a seguir. Um deles tem uma magnitude 5,0 e ângulo de 45 graus, e o outro tem uma magnitude de 7,0 e ângulo de 35 graus.

   

   A resposta correta é magnitude 12,0, ângulo de 39 graus.

1. Resolver os dois vectores em seus componentes. Para o primeiro vector, aplicar a equação v_x = v cos theta para encontrar o x coordenada. Isso é 5,0 cos 45 graus = 3,5.

2. Aplicar a equação v_y = v sin teta para encontrar o y coordenada do primeiro vetor. Isso é 5.0 pecado 45 graus, ou 3.5. Assim, o primeiro vetor é (3.5, 3.5) em forma de coordenadas.

3. Para o segundo vector, aplicar a equação v_x = v cos theta para encontrar o x coordenada. Isso é 7,0 cos 35 graus = 5,7.

4. Aplicar a equação v_y = v sin teta para encontrar o y coordenada do segundo vetor. Isso é 7,0 pecado 35 graus = 4,0. Assim, o segundo vetor é (5.7, 4.0) em forma de coordenadas.

5. Para adicionar os dois vetores, adicioná-los em forma de coordenadas: (3.5, 3.5) + (5.7, 4.0) = (9,2, 7,5).

6. Converter (9.2, 7.5) em forma de magnitude / ângulo. Aplique a teta equação = tan^-1(y/x) Para encontrar o ângulo, que é tan^-1(7,5 / 9,2) = tan^-1(0,82) = 39 graus.

7. Aplicar a equação

   

   para encontrar a magnitude, o que é

   

   Convertendo para dois algarismos significativos dá-lhe 12.

questões práticas

1. Adicionar um vetor cuja magnitude é 13,0 eo ângulo é de 27 graus para um cuja magnitude é de 11,0 e o ângulo é de 45 graus.

2. Adicionar um vetor cuja magnitude é 16,0 eo ângulo é de 56 graus para um cuja magnitude é de 10,0 e o ângulo é de 25 graus.

3. Adicionar dois vetores: Vector um tem uma magnitude de 22,0 e ângulo de 19 graus, e vector dois tem uma magnitude de 19,0 e um ângulo de 48 graus.

4. Adicionar um vetor cuja magnitude é de 10,0 e ângulo é 257 graus para um cuja magnitude é de 11,0 e o ângulo é de 105 graus.

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. Magnitude 23,7, ângulo de 35 graus

1. Para o primeiro vector, utilizar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 13.0 x cos 27 graus = 11,6.

2. Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do primeiro vetor: 13,0 x sin 27 graus, ou 5,90. Assim, o primeiro vector é (11,6, 5,90) na forma de coordenadas.

3. Para o segundo vector, utilizar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 11.0 x cos 45 graus = 7,78.

4. Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do segundo vetor: 11,0 x sin 45 graus = 7,78. Assim, o segundo vetor é (7,78, 7,78) em forma de coordenadas.

5. Adicione os dois vetores em forma de coordenadas: (11,6, 5,90) + (7,78, 7,78) = (19.4, 13.7).

6. Converter (19.4, 13.7) em forma de magnitude / ângulo. Use a teta equação = tan^-1(y/x) Para encontrar o ângulo: tan^-1(13,7 / 19,4) = tan^-1(0,71) = 35 graus.

7. Aplicar a equação

   

   para encontrar a magnitude, o que é

   

Magnitude 25,1, ângulo de 44 graus

Para o primeiro vector, utilizar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 16.0 x cos 56 graus = 8,95.

Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do primeiro vetor: 16,0 x sin 56 graus, ou 13,3. Assim, o primeiro vector é (8,95, 13,3) na forma de coordenadas.

Para o segundo vector, utilizar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 10.0 x cos 25 graus = 9,06.

Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do segundo vetor: 10,0 x sin 25 graus = 4.23. Assim, o segundo vetor é (9,06, 4,23) em forma de coordenadas.

Adicione os dois vetores em forma de coordenadas: (8.95, 13.3) + (9,06, 4,23) = (18.0, 17.5).

Converter o vetor (18.0, 17.5) em forma de magnitude / ângulo. Use a teta equação = tan^-1(y/x) Para encontrar o ângulo: tan^-1(17,5 / 18,0) = tan^-1(0,97) = 44 graus.

Aplicar a equação

para encontrar a magnitude, o que é

Magnitude 39,7, ângulo de 32 graus

Para o primeiro vector, utilizar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 22.0 x cos 19 graus = 20,8.

Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do primeiro vetor: 22,0 x sin 19 graus, ou 7,16. Assim, o primeiro vector é (20,8, 7,16) na forma de coordenadas.

Para o segundo vector, utilizar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 19.0 x cos 48 graus = 12,7.

Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do segundo vetor: 19,0 x sin 48 graus = 14,1. Assim, o segundo vector é (12.7, 14.1) em forma de coordenadas.

Adicione os dois vetores em forma de coordenadas: (20,8, 7,16) + (12.7, 14.1) = (33.5, 21.3).

Converter o vetor (33.5, 21.3) em forma de magnitude / ângulo. Use a teta equação = tan^-1(y/x) Para encontrar o ângulo: tan^-1(21,3 / 33,5) = tan^-1(0,64) = 32 graus.

Aplicar a equação

para encontrar a magnitude, o que é

De magnitude 5,2, ângulo de 170 graus

1. Para o primeiro vector, usar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 10.0 x cos 257 graus = -2.25.

Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do primeiro vetor: 10,0 x sin 257 graus, ou -9,74. Assim, o primeiro vetor é (-2,25, -9,74) em forma de coordenadas.

Para o segundo vector, utilizar a equação v_x = v cos thetato encontrar o x coordenar: 11.0 x cos 105 graus = -2.85.

Use a equação v_y = v sin thetato encontrar o y coordenada do segundo vetor: 11,0 x sin 105 graus = 10,6. Assim, o segundo vetor é (-2,85, 10.6) em forma de coordenadas.

Adicione os dois vetores em forma de coordenadas: (-2,25, -9,74) + (-2,85, 10,6) = (-5,10, 0,86).

Converter o vetor (-5,10, 0,86) em forma de magnitude / ângulo. Use a teta equação = tan^-1(y/x) Para encontrar o ângulo: tan^-1(0,86 / -5,10) = tan^-1(-0,17) = 170 graus. Porque x e é negativo y é positivo, este vector deve ser no segundo quadrante.

Aplicar a equação

para encontrar a magnitude, o que é