Combine as soluções para r Pequenas e Grandes r na Schr & # 246-dinger Equação

Quando você aplica o Schr # equação 246-dinger mecânica quântica por um átomo de hidrogênio, você precisa colocar juntos as soluções para pequenas r e grande r. A equação Schr nº 246-dinger dá-lhe uma solução para o radial Schr # equação 246-dinger de um átomo de hidrogênio como segue:

onde f (r) É alguma função ainda não descobertos, indeterminado de r. Sua próxima tarefa é determinar f (r), O que você faz, substituindo esta equação na radial Schr # equação 246-dinger, dando-lhe o seguinte:

Realizando a substituição dá-lhe a seguinte equação diferencial:

uma equação bastante diferencial, eh? Mas é só sentar e relaxar - você resolvê-lo com uma série de potência, que é uma forma comum de resolução de equações diferenciais. Aqui está o formulário de série de potência de f (r) usar:

Substituindo a equação anterior para o que antes dela lhe dá

Alterando o índice de o segundo termo de k para k - 1 dá-lhe

Porque cada termo nesta série tem que ser zero, você tem

dividindo por r^k-2 da-te

Esta equação dá a relação de recorrência da série infinita,

Isto é, se você tiver um coeficiente, você pode obter o próximo usando esta equação. O que isso lhe comprar? Bem, dê uma olhada na relação de uma_k/uma_k-1:

Aqui está o que esta relação se aproxima como k vai para o infinito:

Isto assemelha-se a expansão de e^x, qual é

Quanto a e^2x, a proporção de termos sucessivos é

E no limite

a razão dos coeficientes de expansão de sucessivos e^2xaproxima-se 2 /k:

Esse é o caso de e^2x. Para f (r), Você tem

Comparando estas duas equações, é evidente que

A função de onda radial, R_nl(r), se parece com isso:

Onde

Conectando a forma que você tem para f (r),

Ok, você deve estar muito feliz? Bem não. Aqui está o que a função de onda

parece:

E substituindo em sua forma de R_nl(r) A partir desta equação dá-lhe