Analisar um RL Circuito de primeira ordem usando métodos de Laplace

Usando a transformada de Laplace como parte de sua análise de circuitos fornece uma previsão da resposta do circuito. Analisar os pólos da transformada de Laplace para ter uma idéia geral do comportamento de saída. pólos reais, por exemplo, indicam o comportamento de saída exponencial.

Siga estes passos básicos para analisar um circuito usando técnicas de Laplace:

1. Desenvolver a equação diferencial no domínio do tempo usando as leis de Kirchhoff e equações do elemento.

2. Aplicar a transformação de Laplace da equação diferencial para colocar a equação na s-domínio.

3. Algebricamente resolver para a solução, ou resposta transformar.

4. Aplicar a transformação inversa de Laplace para produzir a solução da equação diferencial original descrita no domínio do tempo.

Para se sentir confortável com esse processo, você simplesmente precisa para a prática de aplicá-lo para diferentes tipos de circuitos, tais como um circuito RC (resistor-capacitor), um RL (resistor-indutor) de circuito, e um (resistor-indutor-capacitor) do circuito RLC .

Aqui é um circuito RL que tem um interruptor que tem estado em posição Um por um longo tempo. O interruptor se move para a posição B no momento t = 0.

Para este circuito, você tem a seguinte equação KVL:

v_R(T) + V_eu(T) = 0

Em seguida, formular a equação elemento (ou i-v característica) para cada dispositivo. Usando a lei de Ohm para descrever a tensão através da resistência, tem a seguinte relação:

v_R(T) = I_eu(T) R

equação elemento do indutor é

Substituindo as equações elemento, v_R(T) e v_eu(T), na equação KVL lhe dá a equação diferencial de primeira ordem desejada:

Para a Etapa 2: Aplicar a transformada de Laplace da equação diferencial:

A equação anterior usa a propriedade de linearidade que diz que você pode tomar a transformada de Laplace de cada termo. Para o primeiro termo do lado esquerdo da equação, você usa a propriedade de diferenciação:

Esta equação utiliza Eu_eu(S) = # 8466-[Eu_eu(T)], e Eu₀ é a corrente inicial que flui através do indutor.

A transformada de Laplace da equação diferencial torna-se

Eu_eu(S) L R + [sl_eu(S) - I₀] = 0

Resolva para Eu_eu(S):

Para uma dada condição inicial, esta equação fornece a solução de Eu_eu(T) para a equação original diferencial de primeira ordem. Você simplesmente realizar uma transformada de Laplace inversa Eu_eu(S) - ou olhar para o apropriado transformar par nesta tabela - para obter de volta para o domínio do tempo.

A equação anterior tem uma forma exponencial para a transformada de Laplace par. Você encerrar com a seguinte solução:

O resultado mostra que o tempo t se aproxima do infinito, a corrente no indutor inicial, eventualmente, morre a zero depois de um longo período de tempo - cerca de cinco constantes temporais (L / R).