Os sinais do mundo real e Sistemas de Caso: Projeto filtro analógico com uma torção

Você é dado a tarefa de projetar uma entrada analógica (de tempo contínuo) filtrar para atender as especificações de resposta amplitude mostrados. Você também precisa encontrar a resposta ao degrau do filtro, determinar o valor da superação de pico e tempo onde ocorre a superação de pico.

Conteúdo

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O objectivo do desenho de filtro é para a magnitude da resposta de frequência em dB (20log10|H(f) |) Para passar através da região não sombreada da figura como a frequência aumenta. Os requisitos de concepção reduzir a banda passante e stopband frequências críticas fp e fs Hz e os níveis de atenuação de banda passante e stopband UMAp e UMAs dB.

Além disso, a característica de resposta é para ser Butterworth, o que significa que a função de resposta e sistema de magnitude filtro de tomar esta forma:

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Aqui, N é a ordem do filtro, fc representa a banda de passagem de 3 dB frequência de corte do filtro, e os pólos, localizados em um semicírculo é a esquerda; meia s-plano, são dadas pela

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Este problema exige que você trabalhe no domínio da frequência, o domínio do tempo, e talvez o s-domínio, dependendo da abordagem solução que você escolher.

A partir dos requisitos, a resposta de frequência do filtro tem ganho unitário (0 dB) na banda passante. A resposta de passo (a caracterização no domínio do tempo) do filtro Butterworth é conhecido por ultrapassar a unidade antes de finalmente se decidir a unidade como

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Para projetar o filtro, você pode usar uma das duas abordagens:

  1. Trabalhar uma solução à mão, usando a resposta de frequência magnitude Butterworth |HBU(f) | e a função do sistema, HBU(s).

  2. Use os recursos de projeto do filtro do SciPy sinal pacote.

Encontrar a ordem do filtro e 3 dB frequência de corte

Siga estes passos para projetar o filtro usando Python e SciPy para fazer o número real de trituração:

  1. Encontrar N e fc para satisfazer os requisitos de resposta de magnitude.

    Use a função SciPy N, wc = signal.buttord (wp, ws, Ap, como, analógico = 1) e entre os requisitos de projeto do filtro, onde wp e ws são os de banda passante e stopband frequências críticas em rad / s e Ap e Como são os níveis de banda de passagem da faixa de rejeição e de atenuação (ambos os conjuntos de números vir a partir da figura precedente). A função retorna a ordem do filtro N e a frequência de corte banheiro em rad / s.

  2. Sintetizar o filtro - encontrar o {bk} E {umak} coeficientes da equação diferencial LCC que realiza o sistema desejado.


    Se encontrar elementos do circuito é o fim do jogo, você pode ir lá imediatamente, usando fórmulas de síntese circuito. Chamar a função SciPy b, a = signal.butter (N, wc, analógico = 1) com a ordem do filtro e a freqüência de corte, e ele retorna os coeficientes do filtro em matrizes b e uma.

  3. Encontre a resposta ao degrau em forma matemática exata ou através de simulação.

Veja como utilizar as ferramentas de Python com as exigências do projeto dadas e, em seguida, verificar o trabalho traçando a resposta de frequência como uma sobreposição. Nota: Você pode fazer a mesma coisa em MATLAB com quase a mesma sintaxe.

Dentro [379]: N, wc = signal.buttord (2 * pi * * pi * 1e3,2 10e3,3.0,50, analógico = 1) ordem do filtro # find NIn [380]: N # filtro orderOut [380]: 3In [381]: Wc freq # corte em rad / sOut [381]: 9222.4701630595955In [382]: B, a = signal.butter (N, wc, analógico = 1) # get coeffs.In [383]: ataque[383]: Array ([7.84407571e + 11 + 0.j]) Em [384]: Real (a) Out [384]: Array ([1.00000000e + 00, 1.84449403e + 04,1.70107912e + 08,7.84407571e + 11])

Os resultados da Linha [379] dizer-lhe que a ordem do filtro necessário é N = 3 e a frequência de corte do filtro necessário é

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Os conjuntos de coeficientes de filtro, também são incluídos nos resultados.

Use o real() função para exibir de forma segura a parte real da matriz de coeficientes uma porque você sabe que os coeficientes são reais. Como? Os pólos, raízes denominador HBU(s), São reais ou ocorrem em pares conjugados complexos, garantindo que o polinômio denominador tem coeficientes reais quando multiplicado fora. As peças muito pequenas imaginários são devido a erros de precisão numérica.

Verificar a resposta final frequência projeto

Para verificar o design, usar a receita resposta de frequência.

Dentro [386]: F = logspace (2,5,500) axisIn # log frequência [387]: W, H = signal.freqs (b, a, 2 * pi * f) Em [388]: Semilogx (f, 20 * log10 (abs (H)), 'g')

A figura mostra o gráfico da resposta final design de magnitude, juntamente com os requisitos de design originais.

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Encontrar a resposta ao degrau dos coeficientes do filtro

A abordagem mais elegante para encontrar a resposta ao degrau dos coeficientes do filtro é encontrar

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o s-seção de domínio da figura diz-lhe como completar a expansão em frações parciais (PFE) numericamente. Você tem as matrizes de coeficiente para H(s), Então tudo que você precisa fazer é multiplicar o polinômio denominador por s. Você pode fazer isso manualmente ou você pode usar uma relação entre coeficientes polinomiais e convolução seqüência.

Quando você multiplicar dois polinômios, as matrizes de coeficientes para cada polinômio são convolved, como em convolução seqüência.

Aqui, você trabalha com o problema, usando signal.convolve para realizar a multiplicação polinomial no denominador. Para convencê-lo de que isso realmente funciona, considere multiplicação dos dois polinômios seguintes:

(x2 + x + 1) (x + 1) = x3 + 2x2 + 2x + 1

Se você convolve os conjuntos de coeficientes [1, 1, 1] e [1, 1] como arrays em Python, você recebe essa saída:

Dentro [418]: Signal.convolve ([1,1,1], [1,1]) Out [418]: Array ([1, 2, 2, 1])

Isto concorda com o cálculo manual. Para encontrar o PFE, conecte as matrizes de coeficientes b e convolve (a, [1,0]) para dentro R, P, K = resíduo (b, a). Os coeficientes de [1, 0] corresponde ao s-polinomial de domínio s + 0.

Dentro [420]: R, P, K = signal.residue (b, signal.convolve ([1,0], um)) em [421]: R # (resíduos) arranhar pequena errorsOut numérica [421]: Array ([1.0000e + 00 + 2.3343e-16j, # resíduo 0, parte imag 0-1.0000e + 00 + 1.0695e-15j, # resíduo 1, parte imag 01.08935e-15 -5.7735e-01J, # resíduo 2, parte real 01.6081e-15 + 5.7735e-01J]) # resíduo 3, parte real 0cm [422]: P # (pólos) Out [422]: Array ([0.0000 + 0.0000e + 00j, # pólo 0-9222,4702 -1.5454e-12j, # pólo 1, imag parte 0-4.611,2351 -7.9869e + 03J, # pólo 2-4611,2351 + 7.9869e + 03J]) # pólo 3In [423]: K # (de divisão longa) Out [423]: Array ([0. + 0.j]) # adequada racional, por isso não termos

Você tem quatro pólos: dois reais e um par conjugado complexo - um pouco de confusão para o trabalho através, mas é factível. Consulte a par transformar

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para calcular a transformada inversa para todos os quatro termos.

Para os pólos conjugadas, os resíduos são também conjugados. Essa propriedade sempre se mantém.

Você pode escrever a transformada inversa dos termos conjugado pólo como senos e co-senos, usando a fórmula de Euler eo cancelamento de partes imaginárias na frente do cosseno e partes reais na frente da sine:

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Juntando tudo, você começa ypasso(t) = você(t) - e-9,222.47tvocê(t) -2 X 0,5774e-4,611.74tsin (7,986.89t)você(t). Tendo esta forma é bom, mas você ainda precisa encontrar o máximo de função para t > 0 e o local máxima. Para fazer isso, representar graficamente a função e observar o máximo.

Uma abordagem mais directa é a utilização de simulação via signal.lsim e a receita de domínio de tempo. A entrada do sistema é um passo, de modo que a saída de simulação será a resposta de passo. A partir da resposta ao degrau simulado, você pode calcular a superação de pico numericamente e vê-lo em uma trama. O código de linha de comando IPython é

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Dentro [425]: T = arange (0,0.002,1e-6) # passo menos de menor tempo de Constantin [426]: T, ys, x_state signal.lsim = ((b, a), os (len (t)), T) [428]: Plot (t * 1e3, ys)

Usando o tempo de matriz t ea matriz resposta ao degrau ys, você pode usar o max () e encontrar() funções para concluir a tarefa:

Dentro [436]: Max (real (ys)) # real para limpar num. errorsOut [436]: 1,0814651457627822 # pico superação is8.14% In [437]: Encontrar (reais (YS) == max (reais (ys))) Out [437]: Array ([534]) # find pico de ser no índice 534In [439]: T [534] * 1e3 # tempo no índice 534 em msOut [439]: 0,5339
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