Analisar um Circuito RLC usando métodos de Laplace

Usando a transformada de Laplace como parte de sua análise de circuitos fornece uma previsão da resposta do circuito. Analisar os pólos da transformada de Laplace para ter uma idéia geral do comportamento de saída. pólos reais, por exemplo, indicam o comportamento de saída exponencial.

Siga estes passos básicos para analisar um circuito usando técnicas de Laplace:

1. Desenvolver a equação diferencial no domínio do tempo usando as leis de Kirchhoff e equações do elemento.

2. Aplicar a transformação de Laplace da equação diferencial para colocar a equação na s-domínio.

3. Algebricamente resolver para a solução, ou resposta transformar.

4. Aplicar a transformação inversa de Laplace para produzir a solução da equação diferencial original descrita no domínio do tempo.

Para se sentir confortável com esse processo, você simplesmente precisa para a prática de aplicá-lo para diferentes tipos de circuitos, tais como um circuito RC (resistor-capacitor), um RL (resistor-indutor) de circuito, e um (resistor-indutor-capacitor) do circuito RLC .

Aqui você pode ver um circuito RLC em que o interruptor foi aberto por um longo tempo. A chave é fechada no momento t = 0.

Neste circuito, você tem a seguinte equação KVL:

v_R(T) + V_eu(T) + v (t) = 0

Em seguida, formular a equação elemento (ou i-v característica) para cada dispositivo. a lei de Ohm descreve a tensão através da resistência (notar que I (t) = I_eu(T) porque o circuito está ligado em série, onde I (s) = I_eu(S) são as transformadas de Laplace):

v_R(T) = I (t) R

equação elemento do indutor é dada pela

E equação elemento do capacitor é

Aqui, v_C(0) = V₀ é a condição inicial, e é igual a 5 volts.

Substituindo as equações elemento, v_R(televisão_C(T), e v_eu(T), na equação KVL dá-lhe a seguinte equação (com um nome fantasia: o integro-diferencial equação):

O próximo passo é aplicar a transformada de Laplace à equação anterior para encontrar um É) que satisfaz a equação integro-diferencial para um dado conjunto de condições iniciais:

A equação anterior usa a propriedade de linearidade que lhe permite tirar a transformada de Laplace de cada termo. Para o primeiro termo do lado esquerdo da equação, você usa a propriedade de diferenciação para conseguir transformar o seguinte:

Esta equação utiliza Eu_eu(S) = # 8466-[isto)], e Eu₀é a corrente inicial que flui através do indutor. Uma vez que o interruptor é aberto para um longo período de tempo, a condição inicial Eu₀ é igual a zero.

Para o segundo termo da equação KVL lidar com resistor R, a transformada de Laplace é simplesmente

# 8466- [i (t) R] = I (s) R

Para o terceiro termo na expressão KVL lidando com capacitor C, Você tem

A transformada de Laplace da integro-diferencial equação torna-se

Reorganizar a equação e resolva para É):

Para obter a solução no domínio do tempo isto), utilize a seguinte tabela e observe que a equação anterior tem a forma de uma senóide de amortecimento.

Agora, você conecte Eu₀ = 0 e alguns números a partir desta figura:

Agora você tem esta equação:

Você encerrar com a seguinte solução:

i (t) = [-0.01e^-400t sin500t] u (t)

Para este circuito RLC, você tem um sinusoid amortecimento. As oscilações irão morrer depois de um longo período de tempo. Para este exemplo, a constante de tempo é 1/400 e vai morrer após 5/400 = 1/80 segundos.